作者 吴国盛（北京大学哲学系教授）
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毕达哥拉斯是西方历史上著名的数学家和哲学家，以他的名字命名的毕达哥拉斯定理在西方学童皆知。这个定理在我国称为勾股定理，它说的是任何一个直角三角形的两直角边的平方和等于其斜边的平方。许多民族都很早发现了“勾三股四弦五”这一特殊的数学关系，但一般关系的发现和证明是毕达哥拉斯最先作出的。二百年后欧几里得的《几何原本》中给出了这一证明。
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毕达哥拉斯是西方历史上著名的数学家和哲学家，以他的名字命名的毕达哥拉斯定理在西方学童皆知。这个定理在我国称为勾股定理，它说的是任何一个直角三角形的两直角边的平方和等于其斜边的平方。许多民族都很早发现了“勾三股四弦五”这一特殊的数学关系，但一般关系的发现和证明是毕达哥拉斯最先作出的。二百年后欧几里得的《几何原本》中给出了这一证明。
毕达哥拉斯虽然著名，但他的生平却无法讲清楚。这不仅因为像泰勒斯等早期希腊哲学家一样，由于事久年湮，其历史生平变得模糊，而且因为毕达哥拉斯学派是一个秘密宗教团体，其教义秘不外传。即使在当时，要了解他们的内部情况也是很不容易的。几乎所有的数学和哲学理论都很难指明是毕达哥拉斯本人提出的，还是他的学生门徒提出的。人们只能笼统以毕达哥拉斯学派概而称之。但称毕达哥拉斯学派也还是过于笼统，因为这个学派从公元前6世纪末到公元3世纪共延续了八百多年。因此，我们还需要限定这里所谓毕达哥拉斯学派只指公元前4世纪以前的早期学派，包括那些在希腊宇宙论发展中起过重要影响的毕达哥拉斯的学生们。
毕达哥拉斯公元前570年左右出生于爱奥尼亚地区的萨莫斯，这是希腊人的殖民城邦之一，与米利都隔海相望。毕氏年轻时周游列国，曾向泰勒斯求学。泰勒斯把他介绍给自己的学生阿那克西曼德，并劝他象自己年轻时一样到埃及去学习。毕氏听从了泰勒斯的教导，在埃及住了相当长的时间，并在那里学习了数学和宗教知识。从埃及回来之后，他离开了家乡萨莫斯，移居南意大利的克罗顿，并在那里讲学收徒。他受到了当地人们的尊崇，其学派发展成了一个兼科学、宗教和政治三者于一身的庞大组织。
毕达哥拉斯学派的主要贡献在数学方面。希腊时代的数学含义较广，包括算术、几何、天文学和音乐学四大学科。按照毕氏学派的划分，算术研究绝对的不连续量、音乐研究相对的不连续量，几何学研究静止的连续量、天文学研究运动的连续量。在算术中，他们研究了三角形数、四边形数以及多边形数，发现了三角形数和四边形数的求和规律；在几何学中，他们发现并证明了三角形内角之和等于180°，还研究了相似形的性质，发现平面可以用等边三角形、正方形和正六边形填满。
在音乐学研究的基础上，毕达哥拉斯学派提出了“数即万物”的学说。他们发现，决定不同谐音的是某种数量关系，而与物质构成无关。传说，毕达哥拉斯有一次路过铁匠铺，听到里面的打铁声时有变化，走过去一看，原来是不同重量的铁发出不同的谐音。回家后，他继续以琴弦做试验，发现了同一琴弦中不同张力与发音音程之间的数字关系。这些研究必定启发他想到导致万物之差异的不是其物质组分，而是其包含的数量关系，故提出了数即万物的数本主义哲学。
说数即万物当然是荒谬的，但若说事物所遵循的规律是数学的，则相当正确。近代科学正是在追寻自然界的数学规律中取得长足进步的，而且可以说，许多次重大的突破都是由于发现了新的数学规律。毕达哥拉斯主义传统确实是自然科学中最富有生命力的思想传统。
毕达哥拉斯学派把数只理解成正整数，他们相信万物之关系都可归结为整数与整数之比。无理数的发现令他们很伤脑筋，因为无理数不能归结为整数与整数之比。据说，在毕达哥拉斯学派的一次海上游玩时，该派成员希帕苏斯提出 不能表示成任何整数之比，其他成员认为他亵渎了老师的学说，竟将他扔入了海中。后来，毕氏学派确实认识到是一个无理数，并且给出了证明。证明用的是归谬法。设 等于a：b，其中a和b是不可通约的整数，可以得出a2＝2b2，由于a2是偶数，a必为偶数，因为任一奇数的平方必为奇数；a和b既不可通约，a又是偶数，b就必然是奇数。又，a既是偶数就可令a＝2c，于是a2＝4c2＝2b2，b2＝2c2，这样b2就是一个偶数，同样道理b也是一个偶数。b既是一个奇数又是一个偶数，这是矛盾的，所以一开始的假设不能成立，即不能表示成两个不可通约整数之比。
在天文学领域，毕氏学派奠定了希腊数理天文学的基础。首先，毕达哥拉斯第一次提出了作为一个圆球的地球概念。人们从前只有大地的概念，地球的概念只是从他才开始有的。这个概念在今天受过科学教育的人看来似乎没有什么了不起，但2500年前认识到这一点却非常了不起。因为即使是今天，也不是所有的人都认识到这一点。许多未受过西方科学教育的人就不相信大地是一个球形，他们说，若地球是一个圆球，与我们相对那面的人岂不是终日倒悬，随时要掉下去？从直观上看，人们大多会得出天圆地方、天盖地承的结论；从直观上看，天高地低，天上地下，天地判然有别。地球概念的提出，打破了这种天地有别的观念，使地球成为天体之一，具有革命性意义。近代的哥白尼革命某种意义上也只是毕达哥拉斯思想的一个延续。
其次，毕达哥拉斯进一步提出整个宇宙也是一个球体。它由一系列半径越来越小的同心球所组成，每个球都是一个行星的运行轨道，行星被镶嵌在自己的天球上运动。毕氏学派认为，位于宇宙中心的是“中心火”，所有的天体都绕中心火转动。天球只能有十个，因为十是最完美的数字。当时已经知道的天体有地球、月亮、太阳、金星、水星、火星、木星、土星共8个，加上恒星天球，一共只有9个天球，不符合毕氏学派对“十”这一美的数字的理想追求。于是，他们就又假想出了一个天体叫“对地”，意思是与地球相对。我们在天空中看不见“对地”，因为它总处在中心火的那一边，与地球相对。我们人类居住在地球上背着中心火的一面，因此，既看不到中心火，也看不到“对地”。毕达哥拉斯学派的菲罗劳斯（生活于公元前5世纪的后半叶）留下了毕氏学派最早的残篇，在那里，他给出了一幅宇宙结构图。图中由里到外的天体排列如下：中心火，对地，地球，月亮，太阳，金星，水星，火星，木星，土星，恒星天。
毕达哥拉斯学派既提出了地球概念，也提出了天球概念，这种地球－天球的两球宇宙论模式为希腊天文学奠定了基础。在天球转动的基础上，希腊天文学家运用几何学方法，构造与观测相符合的宇宙模型；在宇宙模型基础上，又进一步促进观测的发展，使希腊数理天文学达到了世界古代科学的顶峰。
（本文摘自吴国盛教授所著《科学的历程》一书，转载请联系本公众号。）
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