幻方

小学数学中有这样一道题，把1至9九个数填到下面方格中，使其各横行、竖行及对角线上各数之和都相等。

这其实是一个最简单的的幻方。

现在简要介绍一下幻方的编制方法。

编制幻方之数一般为自然数或等差级数，幻方中各横行、竖行及对角线上各数之和均相等。【如果编制幻方所用之数为自然数，则编制成的幻方各横行、竖行及对角线上各数之和的值为：1/2·n·（n²+1）。行数为4m的幻方亦然，但行数为4m+2的除外（其中n为幻方的行数，m为4行的倍数）。】下面举例说明。

一、 三行（奇数行）幻方

编法一：

1、 将任意九个自然数或等差级数斜排成三行（如图1）。

2、 将四个角上的数互相对调（如图2）。

3、 然后再把每条边上中间的数外移作四个角，使原来四个角上的数成为每条边上中间的数（如图2-2），即成一个幻方。（如图3）

编法二：

1、将任意九个自然数或等差级数，依次排成一个方阵（如图4）。

2、按图4样式画一个菱形，将其分成九格，其中四格是空的，四个数字在菱形外面。

3、将菱形外面的数填入其所在的斜行中离它最远的空格里，即成一个幻方（如图5）。

凡行数为奇数的幻方，均可用上述方法编制。但若行数是7或大于7，则菱形外面对应于某斜行一端的数有两个或两个以上，在将其填入所对应的斜行最远的空格时，菱形外面的数应整体移入。例如，将自然数1～49编制成一个七行幻方，其方法如下：

1、将自然数1～49排成一个七行方阵，并按图6的样式在方阵中画一个菱形，分成49格。这样，对应于菱形各边中间斜行的两端各有两个数。（如图6）。

2、将菱形外面的数整体移入其所在斜行最远的空格里，即成一个七行幻方（如图7）。

二、 四行（4m行）幻方

编法一：

1、将任意16个自然数或等差级数排成一个四行方阵（如图8）。

2、将该方阵外角上的四个数交叉对调，再将其中间的四个数交叉对调，即成为一个四行幻方（如图9）。

编法二、

如图8，将各外边上中间二数与对边上中间二数交叉对调即可（如图10）。

凡行数为4m的幻方，均可以上面两种方法为基础进行编制。如8行幻方，按以上方法对调后，再将所有与已对调过的数相间之数，与其交叉对应位置上的数对调即可（如图11～图14），其中，图14为第二种编制方法。若还有未尽之数，则依法继续下去，直到相间之数全部对调为止（如图14）。