主讲人
《云里 · 物理》系列微课简介
大家好，欢迎来到《云里·悟理》系列课程，这里是中国科学院物理研究所，我是曹则贤。现在我们开始讲一个比较烧脑的话题：广义相对论。
从“狭义”到“广义”相对论
01
我们知道，狭义相对论是爱因斯坦1905年创立的，其实到1907年短短两年多的时间里面，狭义相对论就给我们带来了许多关于物理世界的深刻认识。那么在这一年，爱因斯坦要对这个相对论给我们带来的物理知识写一个总结回顾的时候，爱因斯坦就认识到：相对论也是有局限的，是需要推广的。那么他认识到的，相对论的局限是什么呢？就是我们刚才提到，爱因斯坦相对论来自于对电磁波动方程的研究，那里面有一个关键的东西，就是当我们要想让电磁波在静止的时候是一个球波，在运动看起来还是个球波的时候，时空的变换应该用什么呢——下面公式叫洛伦兹变换来描述。这个洛伦兹变换，可惜万有引力的变化、也就是说大家描述一个苹果在地球表面下落这个过程——就是万有引力的方程，它是不满足洛伦兹变换的。爱因斯坦就认识到了：为什么有不同的物理分支，竟然没有同样的一个变换？
洛伦兹变换
这就有一些——如果说不是矛盾——也有不一致的地方。爱因斯坦要追求一个统一的理论，希望这一个关于电磁学的方程、关于引力的方程，都能够有不依赖于观察者的一个表达的形式。所以说他就要推广这样的一个相对性的理论：把电磁学、把万有引力都包含进去。可是怎么做呢？这个就要求大家有深厚的物理知识，要学会去分析已有物理知识里面那些重要的关键点。
万有引力作用
比方说爱因斯坦考察一个万有引力作用下的物体的运动。比方说这个方程：一个物体质量为mi，它的加速度应该等于它所受到的万有引力(的引力势)。那么加速度这一项这边的质量，我们管它叫惯性质量，实际上说就是说：你质量越大，相同的力想要给你产生加速度就越小。所以这个惯性本意也是懒的意思——惰性、惯性，懒是一个意思。右边这个质量实际上是说，两个质量分别成为m和M的物体，它们之间的万有引力是多少？对于苹果被地球吸引的这样的一个运动方程来说，左边的这个mi是苹果的惯性质量，右边这个mg是苹果的、我们应该管它叫引力质量，那么这个惯性质量和引力质量该是什么关系呢？我们注意到，历史上有非常重要的一个实验，就是所谓的比萨斜塔实验：说伽利略从上面扔下了大小不同的两个铁球，它们是同步下落的，如果这个成立的话——大家知道它是成立的——这就说明什么呢？说明一个物体的惯性质量和引力质量是成正比的，就是惯性质量大的，引力质量也大。由此我们干脆就认为mi就说一个物体的惯性质量等于它的引力质量就好了。这就是关于广义相对论的第一个爱因斯坦要采用的等价原理：一个物体的惯性质量等于它的引力质量。上面这个方程mi，如果mi等于右边的mg的时候，这个牛顿第二定律的运动方程就变成了下面这个方程。
这个方程左边这一项实际上是加速度，右边这一项是一个大块的物体Mg一个物体在空间里所产生的引力的势：就是它引力势能的势的强度。这样一个方程，等号意味着什么？意味着物理图像的相等，这个方程左边是一个叫加速度的东西，而右边是一个叫引力势的东西。它可能就暗示着我们：加速度和引力势可能具有某种等价的关系。加速度和万有引力会引起我们有这样的认识。
那么反过来如果我们考察一下电磁力，就是两个电荷之间的库仑力的话，你就会发现：那个里面就完全没有质量的事情——它是电荷q的事情。我们就会发现，这个万有引力和惯性运动，和运动的加速度之间，它们俩的关系可能是比较亲密的，在它们之间，我们应该能够找出更多的物理来。这个地方刚才说了，可能暗示着我们加速度和引力势之间有密切关系。那么有没有更多的证据去支撑我们进一步思考它？有，爱因斯坦说的就是，某一天下午，他突然意识到一个很重要的事情：人在引力场自由下落的过程中，你是感受不到重力的。当时他们社会，经常在冬天来临之前，会有人在楼上打扫烟囱，打扫烟囱有时候经常工人就会摔下来。因为楼不高嘛，就都是活着的，就会讲当时摔下来的过程，告诉别人：其实从高空坠落的过程中，你是感受不到受力的。大家想一下，什么时候你才感受到受力啊？你遇到地面，地面不让你接着落的时候，那时候才有受力。所以说一个自由下落的物体，是感受不到引力的。这才引导着爱因斯坦又提出了另外一个等价原理。什么意思呢？就是一个加速度实际上，是可以等价地看作是一个均匀的引力场。所以说，现在我们有一个任务：就是如何描述引力场，或者我们反过来说，可以把它改写成如何描述加速度。
说到这个时候，许多学过一些物理的同学，可能觉得就很兴奋了。如何描述加速度？加速度我会，我们老师教了！加速度是什么呢？加速度就是速度随时间的变化率，这个叫加速度。然后老师也教我们了什么匀速圆周运动。你沿一个圆周运动的话，速度平方除以圆的半径，就是加速度。而且有人还把它加个名字，叫向心加速度。这个加速度要乘上质量就等于一个力，这个力叫向心力。其实这些描述实际上是成问题的——比方说，开车在一个圆形的，比方说盘桥的时候，我不知道小朋友们哪天跟着你们父亲或者是大朋友，开车到一个桥上也沿着一个圆盘的话，你体会一下，那里面能有的唯一的物理量，是那一个圆环本身的半径。其他的速度也好，或者说那个车受多少力的话，都是改变着的。没有什么给你一个速度，求这个向心力；或者给你一个向心力，怎么求速度的问题。那里面能有的唯一的一个物理量，就是那个规定的圆环的半径而已。大家可以现在看下面这个图：这是我们嫦娥四号的月球车，在月球上面留下轨迹这张照片，当今天我们看这张照片的时候，我们能看到的唯一的东西，就是这条轨迹。那么如何推测这辆月球车当时的运动状态？我们只能够从这条轨迹上想办法。
请同学们现在记住一个非常重要的一个科学的知识：一条轨迹我们要想描述它的话，我们只能从它自身找到关于它的描述。这时候你不能说我旁边再加上一个钟，因为现在我们看这张照片上面，一点时间的信息都没有。描述这条轨迹，只能从这条轨迹自身想办法，那么这样的一个轨迹怎么描述？我们大家也都知道，你随便扔出一个石子，或者说让你在操场上随便跑的话，你留下的轨迹，原则上都是一条弯曲的轨迹。弯曲的一条轨迹，我们用它本身来描述的话，只能够看这条轨迹形状顺着这个轨迹走出去多远——就是路长作为变量。这个就带出了一个非常有趣的现象：一条弯曲的曲线，你把它写成关于它长度变化的一个方程的话，会发现：它的加速度永远是法向加速度，也就是说这个法向加速度，又和这条曲线每一点到底怎么弯曲的、那个曲率相联系的。这就引到了我们一个非常重要的认识：从一条弯曲的路径，这条弯曲路径上面运动物体所受的加速度，竟然可以包含在这样一个轨迹的每一点的曲率上了。这就引导我们：哦，对于一条弯曲的路径的话我需要学会的重要的知识，是描述它是怎么弯的——这就是个曲率的概念。
曲率
那么曲率的概念是怎么描述呢？我们去看右边那一条弯曲的曲线，在每一点上它的凹的这一侧，我近似都可以画出一个圆。如果这个圆和它密切的非常好，这个圆叫密切圆。这个圆的半径，就是我这一条曲线在这一点上的曲率半径，我们能够得出一个公式，来描述这条曲线在这一点的弯曲半径是多少。那么这个曲率公式，是一个法国的少年叫克莱洛，他在16岁的时候就写出了这个公式。而且他提交这篇论文的时候，还有一个要求说：我要当院士。当然这个公式是正确的，他当院士的要求被驳回了。那么两年以后，他又给出了三维空间的曲线的、或者一般性曲线的曲率怎么描述的公式，然后在论文的后面又加上他的要求：我要当院士。这位法国少年克莱洛，是18岁的时候就成为了法国科学院的院士。所以说，同学们还会为自己的学习成绩，在你们班或者在你们学校考第一骄傲吗？
时空是“弯曲”的
02
OK，那么关于相对论，你看现在我们就是分析我们已有的认识，我们慢慢地就是一步一步的往前走。
我们要研究引力，发现引力应该表现在加速度。加速度体现在哪儿？加速度体现在这一个这些轨迹的曲率上面了。曲率不仅是路径是弯曲的，如果是空间里面存在着很多的大质量体，这个质量体本身，就有这一个引力势。而引力势就意味着加速度，就意味着弯曲，就引导着我们认识的概念——我们整个的时空是弯曲的。现在我们大家就有弯曲时空的概念了。
现在的问题是，我们怎么描述弯曲时空？或者说我们设想一下，在我们的空间里面，当然原来什么都没有的话，我们认为它是直的。现在我们把某个点上给它安装一个太阳，是质量非常大的一个物体。它就有引力势，就把旁边的时空给弄弯曲了。可是到底是什么样的弯曲，你能不能写出它数学表达式？这是爱因斯坦要干的事。那么在这样的一个过程中，我们需要什么样的知识？我们的空间也是弯曲的了，这空间里面运动的物体的轨迹一般情况下也是弯曲的了。这就要求我们的科学家现在要掌握什么？要掌握会描述弯曲空间的数学。可是怎么去描述弯曲的空间呢？如果一个空间或一条路是弯曲的话，而且是光滑的时候，我们会注意到有什么？如果它的一条线，在特别短的地方、那个局部近似地方，还是可以用直的来处理的。也就是说，一个大的尺度上的一个弯曲的东西，在它极为微观的小尺度上、我们局域点，还是可以用直的几何来描述它的。然后在局域点上直的几何描述怎么推广到大尺度上面，就能得出关于弯的描述，这就是所谓的微分几何的思想。
弯曲时空
而这个思想我非常高兴地发现，竟然出现在我们老祖宗的著作《抱朴子》里面。有一句话叫枉曲直凑。什么呢？就是你要得出一个弯曲的东西你怎么办？你就可以用直的去凑它，就是说把直的给弄弯了。反过来说，一个弯的东西，在局域小尺度上的时候总是可以当做直的。那么接下来广义相对论所做的一个非常重要的一个地方，就是描述一个物体怎么样在弯曲的时空里面，找出一条最恰当的弯曲的路。
恰当的弯曲的路，恰恰是一般意义上我们所说的叫直。但是仅仅是在弯曲空间里面，这样的路也是弯的。这个意思不好讲，不好讲呢。我提醒大家可以去做实验，去找到一个感觉。这个实验是什么呢？请大家下次出去旅游的时候，到山上找那种两边还都是树的崎岖的小路。你肩膀上扛一根长的杆子，竹竿或者木杆都行。就是在山坡上，沿着两边都是树的弯曲小路扛着直竹竿，你要把路走好了，那就是一个例子——在弯曲时空里面正确的走路的方式.有了这样一个感觉，将来你们理解广义相对论可能稍微就容易点了。
那么刚才提到的这些数学给同学们交个底，我也不会。但最重要的是，爱因斯坦当年也不会。爱因斯坦1907年觉得要推广广义相对论，一直不停摸索。到了1912年，就是五年多以后，也还是不得其门而入。
而在这个时候他终于注意到，要想描述广义相对论意义下的弯曲空间，以及弯曲空间里面走的路径。这样要用到一个很重要的东西：黎曼几何，以及黎曼空间里的微分。这个微分不是牛顿的微分，叫绝对微分。到1912年的时候，意大利的这一位数学学派，像里奇、列维-齐维塔这些人，就发展出了这样的一门学问：绝对微分，现在叫张量分析。那么我们看下边呢，这就是爱因斯坦当年，边思考广义相对论边学习的笔记。
爱因斯坦在苏黎世时期学习张量的笔记
在这个时候，下边这样一本书，作者是列维-齐维塔——这样一个意大利人。这本书也出来了，而且爱因斯坦是通过和这个作者列维-齐维塔通信认真地去学这门学问。直到1915年的时候，爱因斯坦才终于得到了这个广义相对论。
《绝对微分学》
如何描述弯曲空间的量下面的G ，即爱因斯坦张量，这个在一般的广义相对论的书里都会说他是从牛顿引力的理论一点点往下猜的，其实不是。因为我们再提强调一下：所谓相对性和相对性原理，最重要它是绝对性，是要研究变换中的不变性。
构造这样的数学理论，数学里面是有非常重要的一个分支——这个分支就叫不变量理论。这个时候我们就知道，所谓的这一个广义相对论：实际上就是用几何的观点来研究引力，所以说有人也可以把它当做引力的几何理论。其实它的出发点，就是我们现在在中学能够学到的勾股定理。二维空间的时候，a点到b点的距离的平方实际上就等于x方向的dx²加上y方向的dy²。那么大家来看：如果是把它画成三角形的话，这就是所谓的勾股定理。然后我们把它推广到一般的弯曲空间里。我们看两点之间的距离的平方ds²是什么表达。这就是到了微分二次型了，就比较复杂了。那么由这样的一个表达式，我们要找这里面两点之间怎么联系、两点上怎么做微分、以及怎么描述这样的一个空间里面，距离是按照特定规定的一条线、它的曲率是多少？
要做的事情就接下来这一个：我几个公式里面要表达的东西。大家现在不懂，这地方是一步一步的，从简单的关于距离的公式到两点之间的联络，到一个描述弯曲的一个重要的张量，叫黎曼张量，然后引入里奇张量描述这个时空弯曲。真的冥冥之中自有天意。里奇这位数学家，里奇本身在意大利语里面竟然就是弯曲的意思。爱因斯坦在1915年的12月份终于就得到了这个爱因斯坦的引力场方程。一边是描述的是时空是怎么弯曲的；一面就描述的是能够引起空间弯曲的那个地方的能量和动量。
这个张量是什么样子？这个方程有个比较简单的解释，它告诉我们：物质是怎么样把时空给弄弯曲了。这个方程我们知道它是一个张量方程μν。它每一个量都是4×4的矩阵。这个方程，你要真想解它的时候，其实是非常费劲的。但是很神奇的是：爱因斯坦这个方程是1915年12月份在普鲁士科学院报道的，1916年3月份才正式发表。在1916年的1月，大家记住1916年的时候，欧洲还处于第一次世界大战中。在普鲁士的东线，也就是德国和俄国的战线，战壕里面有一位叫史瓦西的炮兵上尉，就为爱因斯坦这个场方程就找出了一个解。大家想象一下，爱因斯坦这个方程，到现在我都不会。我不会解，但是在发表之前的两个月，有一位炮兵上尉在前线的战壕里面随手就给解了，有多么神奇！当然了，这位史瓦西炮兵上尉在入伍之前本身就是德国哥廷根大学的数学物理教授、是哥廷根天文台的台长。
好，那么如果大家仅仅是满足于知道的话，那么引力的几何理论可以说就这么两个方程！一个方程，就是爱因斯坦的场方程。一边是时空怎么弯曲、一边是物质能量在空间怎么分布。它是说物质的存在怎么决定空间的弯曲；那么另外一个方程呢，我们管它叫测地线方程，测地线方程讲：一个在弯曲时空里面，一个物体的运动的轨迹是怎么描述的，它是弯曲空间里面的直线的方程。这个方程之所以叫测地线，是因为历史上人们真的是为了绘制地图 ，是一点点测量我们地球表面的形貌以及探索地球表面上两点之间的这个路。比方最短的路怎么走，在这样的一个实践过程中德国伟大的数学家高斯是亲自参与了的。
广义相对论的证据
03
广义相对论出现以后，到底有没有用、正确不正确呢？
其实它有几条知识是给我们带来了重要的认识，增强了我们关于这个理论是正确的的信心。其中一条是说叫引力红移。说什么呢？就是引力场。如果一个光从引力大的地方跑出来的话，其实也是需要消耗能量的。它的能量要减少，相应的它的波长会变长，往红光这方面走，这叫引力红移。
红移现象
另外一点就是广义相对论的计算：我们大家知道，太阳系的行星里面靠近太阳最近的行星叫水星，水星由于离太阳太近了、它质量太小、所以它的轨道，如果你近似的把它看作一个椭圆的话，这个椭圆实际上本身是一直在飘的，这个我们管它叫水星的进动。水星进动如果用牛顿的理论算的话，每100年还有43秒左右的进动，找不出原因。广义相对论计算就完全解释了水星进动，这是它的一大成就。
水星绕日轨道
还有一大成就呢，就是解释的一点：一个大质量体附近它的时空是弯曲的，而光始终是走直线的，那么一个弯曲空间里面的直线（当然看起来也是弯的），就是我们平常说的光线，被弯曲了。对于离我们地球最近的大质量的物体，能有什么大质量物体？就是我们的邻居——我们的太阳！
太阳附近时空是弯曲的
要想证明光线被太阳弯曲，就要看远处来自某个恒星的光线，从太阳旁边经过的时候，地球上看它的时候到底有没有弯曲。实际上比较的是什么？比较是恒星到达我们的地球的这样的一个路径。接近太阳和不接近太阳的时候，我们眼睛感觉到的恒星的位置，比较一下，就能得出这个光线有没有弯曲。这个实验一定要在日全食的时候进行。这样的一个观测过程是发生在1919年，据说这个验证了光线经过太阳附近确实是被弯曲了。所以说，解释水星的进动、观测到恒星光线在太阳附近的弯曲以及光的引力红移现象，这三个这个成果被认为是广义相对论正确的三大证据。
广义相对论的其他贡献者
04
我提醒大家：理解广义相对论，很重要的有这么两点：一是物质和物质外面的，就是物质存在于其中的时空之间到底是什么关系。关于时空是弯曲的，物质是仅仅是时空里面的涟漪这种说法，我提醒大家;这不来自于爱因斯坦，而是来自英国的著名的数学家克利福德。克利福德这是大数学家，给我们留下了克利福德代数这样的一门学问。而且最重要的是，他还是一位儿童文学作家。
克利福德
另外一个就是，学相对论我们一定要学的一个几何的概念，这个叫黎曼几何。黎曼，大家看他出生于1826年,去世的时候是1866年。这个人是我们人类历史上应该说是最了不起的数学家! 他差不多在1850年、1851年的时候才开始做数学，到他去世，能做数学差不多也就15年的时间。这短短的15年时间里面，他给我们留下的数学的遗产，应该说是汗牛充栋。每一个学物理学、学数学的人随时都会遇到黎曼这个词。
黎曼
广义相对论，许多时候我们都把它描述成爱因斯坦一个人的贡献，这个有他正确的地方，确实广义相对论是爱因斯坦想起来，而且爱因斯坦一直从1907年到1915年、长达八年的时间也一直吭哧吭哧做这个事情。但是，广义相对论之所以能够成功，其实里面有很多人的贡献。比方说在1900年的时候，法国的大学者庞加莱就率先提出来了，如果加速的电荷产生电磁波，那么加速的质量会不会产生引力波的概念。这个思想是庞加莱的，用到的数学我们刚刚也提到了，这个意大利的数学学派包括里奇、列维-齐维塔、贝尔特拉米等人。其实在1915年以后，广义相对论还一直发展，而且意大利的数学家做出非常重要的贡献。
庞加莱
列维-齐维塔
那么还有一个人，几乎实际上是比爱因斯坦早五天写出广义相对论场方程的，是中间这位戴草帽的，这位是我们数学大神——德国哥廷根大学的数学教授希尔伯特。还有一位叫赫尔曼·外尔。这个更是一个我们数学、物理界里面大神级的人物。赫尔曼·外尔是一个职业的数学家，但是他对量子力学、相对论，都有重要的贡献。当他要把引力和电子（记住，不是电子学）的理论要统一的时候，给我们带来了更加难以理解的一个理论，叫规范场论。所以说我们请大家记住：广义相对论是我们人类理性思维的一个巅峰！但是这个巅峰还在持续，它还有发展的理论的余地。
希尔伯特
赫尔曼·外尔
广义相对论的简单要点
05
好，给大家总结一下，对于广义相对论，我们中学生能知道什么呢？我们就记住这样几点就行了：首先我们知道描述一个物体，它的惯性叫质量、或者叫惯性质量。其实这都是一个词，就是都是表示这样一个物体本身，它在外力推动下，它到底有多懒的问题。但反过来，它本身的质量也决定了，它能够让周围的空间产生弯曲的一个能力。大家记住一个词：惯性、惯性质量、质量，这是一个意思。爱因斯坦构建广义相对论，用到了两个比较重要的等价原理：一个就是所谓的引力质量等价于惯性质量；另外一个就是均匀的引力势等价于加速度。爱因斯坦创建广义相对论一个重要的修正，就是对惯性运动的修正。在我们现在所学的学问里面，什么叫惯性运动呢？一个物体如果不受外力作用的话，始终保持静止或匀速直线运动，这个叫惯性。但是到了爱因斯坦的广义相对论，爱因斯坦是把这个惯性是修改了的。一个物体，如果不受引力之外的其他力的作用的话，它的运动状态是惯性运动。
关于广义相对论，我们大家一定要记住，它比较难以理解的地方在于它所用的数学。因为它要用描述的是弯曲时空的产生以及弯曲时空里面的运动轨迹，而这里面的一个关键的词就是：关于一条曲线的曲率，和关于其他任何曲面的曲率，等等。所以说，如何描述一个弯曲的几何体的曲率，一个弯曲几何体到底怎么弯的，这样一个学问是我们一定要学的。这一门学问叫微分几何，大家在将来上大学的时候，去学微积分的时候，学微分几何的时候，要主动去关切这方面的思想。
最后一点就是说，可能给大家纠正的一个认识。我们记住什么叫直线——光走的路就叫直线。但是在弯曲的引力场，或者说，两点之间的介质不太均匀的时候。我们都会有一种光是弯曲的概念。大家知道在沙漠表面，如果是由于有高温的时候空气不均匀，那么它的折射率就不均匀，使得光线经常是沿着弯曲路径传播的。如果我们眼睛还坚持认为光是走直线来的，就会造成海市蜃楼的现象。但是这个认识，今天的话我们要改变一下认识了。光走的任何路径都叫直线，光走的路才叫直线。由于这个相对论的知识，本身是原理性的。它的原理是简单的一句话，但是由它出发构造的对于我们世界的认识，实际上它是一个开放的。它包含的知识很多，因此它所需要用到的数学知识也很多，我们不能指望在这样的一个简单课堂里面给大家讲清楚。
我希望经过这样的两节课，能够勾起大家的一点学习的兴趣。而且最重要的是，请你们一定要有信心。当年给出曲率表达式的时候，克莱洛仅仅16岁；而那个写出麦克斯韦方程组的麦克斯韦，他给我们带来了卵形线方程——鸡蛋方程的时候，仅仅13岁；而爱因斯坦实际上从苏黎世大学毕业的时候，应该也是二十二三岁，到1905年，他的4篇论文、应该算5篇带来奇迹年的时候，那一年也不过26岁；而另外一位怎么说呢，对广义相对论和量子力学都有非常重要贡献的、也跟爱因斯坦生活学习地方很近的，一位来自奥地利维也纳、在德国慕尼黑上大学的少年，叫泡利。泡利18岁高中毕业的时候，就已经发表广义相对论研究论文了，当他18岁高中毕业去慕尼黑大学上大学的时候，那么慕尼黑大学的物理学教授索末菲评价他说：你已经够博士的水平了。但是我们德国大学规定，任何人进入大学都必须六学期以后，才可以申请博士学位。你不能在我这干坐六个学期，我给你找点事吧。正好德国数学科学百科全书要求我来写相对论的回顾性的文章。大家记住，这是1918年。爱因斯坦1905年建立了狭义相对论，到1915年底建立了广义相对论。这样的一个出生于1900年的奥地利少年泡利，被德国的慕尼黑大学索末菲教授认为是相对论的权威，要把写百科全书里面的一个条目相对论的综述性的文章交给了这位泡利。而泡利竟然欣然接受了，大一开始写、大二写成，大三的时候，以量子力学方面的研究获得了博士学位。而他写的相对论的综述性的论文、这篇他在18岁开始写，21岁正式印出来的这样的一个论文，237页，在今天依然是相对论的经典文章。所以小朋友们，你们一定要对自己有信心！
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