名师 | “一叶而知秋，一题一世界”---有感于一道高考向量问题的一题多解

作者：桂再安

任教于浙江安吉高级中，文章发表于《数学教学通讯》2014年第3期。

 一、摘要

提高学生的解题能力是我们共同的目的，而实际上往往事与愿违，我们让题海包围，而学生却让题海淹没， 教学效益和学习效率没有得到更大的改善和提高。本文从一道2013年浙江省高考数学向量试题出发，探讨如何进行习题教学。

 二、试题呈现

俗语说：“一叶而知秋”， 这句话给我们提供了一种研究问题的思路，体现了微观和宏观之间的一种共通和互融的关系，是一种通过现象看问题本质的途径。就我们数学教师而言， 提高学生的解题能力是我们共同的目的，而实际上往往事与愿违， 我们让题海包围，而学生却让题海淹没，教学效益和学习效率没有得到更大的改善和提高。

笔者认为，只有深入研究问题求解中的各种可能性和问题所呈现出的有利于教学的隐性资源，通过一题多解调动学生头脑中沉睡的知识链接，改善学生固化的思维习惯，让学生乐于思考，勇于探索，进而改善并提高学生学习的内驱动力，这才是我们数学教学所追求和倡导的。以下以2013年浙江省高考数学第17题为例进行说明和论述，该题如下：

 三、追本溯源，感知命题背景

该题考查了对于平面向量的基本概念的综合运用，其“源”题来自于必修4平面向量一章的课本习题第4题（第102页），这道课本习题的条件和高考题非常相似，高考题就是以这道课本题为原型进行改编的。

题目文字虽然不多，却涵盖了单位向量、平面向量的基本定理、夹角、向量的模等反应向量特点的概念和定理，在一定程度上做到了知识点的有效覆盖。该题已知条件平易近人，最值问题求解，体现了静中有动、变化之中有不变的特点，题目简约而不简单，给考生在知识运用上留有足够的回旋余地。

 四、一题多解，探析解题思路

解法1评析：该解法从函数入手，通过相关运算得到一个两元函数，然后换元转换为一元函数求解最值， 从这个角度而言，尽管是考查平面向量的有关内容，却没有放弃对于主干知识函数的考查。

解法2评析：该解法运用了函数到方程的转换，利用判别式求得最值， 体现了方程思想。

解法3评析：该解法通过换元转化，利用三角函数的特性求出最值。

解法4评析：利用数形结合，直观而简洁。

解法5评析：利用数形结合，直观而简洁。

从以上6种解法来看，该题在解答过程中呈现出了比较丰富的知识背景，就这一点而言，体现了高考的命题取向，使得考生在解答过程中有较大的选择余地，能够更好地反应学生知识的掌握程度。

就数学教学而言：“解题方法的多样性，大大增强了学生基础知识的运用能力，使得学生在有限的时间内仅仅通过一题就可以感受到整个高中数学的总体脉络，是对学生已有知识的一个凝聚和整合的过程，这样必将提高教学效益和学生的学习效率，就好像从一滴海水可以看到整个海洋的秘密，从一道题感受到整个数学体系的魅力， 可谓是：“一题一世界”。

如果将该题的条件进一步一般化，可以给出更为一般性的结论，如下：

类题求解，感受共性特征

 五、总结

从以上两个类题和前面提及的各种解法和分析可以看出，平面向量的问题求解往往能够呈现出多样的解题方法，体现了四个方面的思想：函数思想、方程思想、数形结合思想、坐标化的思想。因此，注重思想领会，淡化解题技巧，体现问题实质，深度挖掘习题背后的教育教学资源，增加学生必要的解题经验和反思能力才是我们平时教学中应当贯彻和执行的。

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