相信你经常会看到有人说循环小数0.999......等于1，这让你觉得不可思议，但又苦于证明过程比较高大上，你可能觉得自己理解的还不够透彻，所以我们今天就聊一聊如何用基础数学证明循环小数0.999......等于1，对你没看错，是基础数学，没有微积分，没有极限，没有任何高端的数学概念。顺便我们在讨论下无穷领域将给我们人类认知宇宙将带来什么困惑？让我们开始吧！
可能你一直没有意识到，我们可以很容易地把任何循环小数写成分数。如果你有一个个位数的循环小数，把重复的那个数字写在分母9上，像下图这样:(如果你不放心的话，可以拿出计算机验证下）
如果你有一个2位数字的循环小数的话，请在分母99上写下循环的数字.
如果你有一个3位数字的循环小数，可以将循环数字写在分母999上.
如果是N 个循环数字，公式是：
其实这个公式已经显示出0.999…等于1了。我们还是往下证明吧！从0.999…等于它的等效分数开始。
显然，9÷9 = 1。所以我们有：
证明完了，简短精悍，不过我能感觉到你的面前飘来很多问号，这简直违法直觉，怎么可能这么简单？那我们继续，不过接下来这个方法更简单！
我们知道1/3等于0.33333…2/3等于0.66666…，所以1/3+2/3必须等于0.3333…+0.6666…，对吧？
两边相加，结果又来了：
数学迷们可能又有点失望了，因为这太简单了。因为我们感觉到越简单越没有说服力，大家喜欢哪种看起来超复杂，又高端的方法，如果你想再多看一会，那我们接下来用一个很好的无穷级数来说明为什么以上等式是成立的。前面说过我们今天不做那些复杂的数学运算，但是我害怕你们觉得被忽悠了。那么开始吧。
让我们从分解0.999...开始。
如果你回想一下你上小学的时候，你就会想起有一位和蔼可亲的老师向你解释怎样分解数字的位数，
所以我们可以以同样的方式写0.999…为：
或分数形式：
如果我们把前5个值相加，我们得到0.99999，如果我们不停地写出十进制展开式，我们可以把它写到无穷大，无穷长，无穷远，想绕地球几圈都可以！这样我们将得到精确的0.9999999999…。手工将小数展开到无穷大是不可行的，这就是为什么用简写的原因。
我们先将9提出来。
然后将分母重写为10的幂。
现在用符号∑表示无穷求和。
希腊字母西格玛∑在数学中用来表示重复加法。求和中的第一个值是通过将n的值代入∑下面来得到。如果n = 1,所以我们得到(1/10)¹。下一个值代入n = 2, (1/10)²。然后代入n = 3，(1/10)³,等等。一直这样往进代，直到等于∑符号上面的值。在上面式子中，上方的值为无穷大，所以没有终点。所有这些代入生成的值相加，然后整个和再乘以9，我们就能得到这个无穷数列的值，可是我们要先考虑的是无穷数列求和的问题。
考虑求和的方法是在上面的式子中每一个连续项都是由前一项乘以一个公比得到的。这意味着我们有一个收敛到a/(1 - r)的几何级数，其中a是级数的第一个值，r是我们得到下一项乘以的比值，也就是前一项和后一相的公比。
无穷几何级数的公式
级数的收敛性意味着当你向级数中添加越来越多的项时，级数会越来越接近一个特定的值。这个级数正无限逼近收敛值。在我们的例子中，我们从1/10开始，每一项都乘以1/10来得到后一项，所以a和r都等于1/10。
由于a=1/10, r=1/10，我们可以将a和r组合起来，将求和调整为n=1，这与我们对这个问题的原始求和非常匹配，完成右边的运算。
现在我们正式证明了0.999收敛到或等于1。
这个结果让人觉得很奇怪!两个不同的数竟然相等。这个问题的反直觉本质是无穷领域带来的陌生感和奇异性。
通过这样一个简单的问题，我们人类的大脑从一个能感知到的范围进入了一个超出我们所能理解范围。人类作为有限的存在，我们可以把握和理解无限或永恒的概念，但我们永远无法真正体验无穷的本质。这意味着，在我们有限的感知世界里，我们所得到的真理，往往在无限的层面上将表现得不同。
很多伙伴们都认为也很乐意承认宇宙的无限，但是宇宙的无限将给我们人类带来极大的困惑，它将和0.999...无限逼近1或等于1一样，超出我们人类理解和感知的范畴。无限的宇宙将带来无限的可能，这将导致我们人类目前的宇宙认知可能在无穷的时空中被颠覆。所以我们不要期盼着宇宙真的无限，这样我们人类在浩渺的宇宙面前还可能有“出人头地”的一天。
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