“碰瓷”麦克斯韦：伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈

编辑人语

本文——伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈，成稿于2017年一月份。如作者所述：撰写该论文的原因是因为作者在当时为《物理与工程》几篇关于狭义相对论教学论文的审稿时发现，很多物理老师对狭义相对论教学的两个基本原理：相对性原理和光速不变原理之间关系纠缠不清。为此作者干脆就自己写一篇没有光速不变原理的麦克斯韦方程组的小文章来说明两个原理的独立性。

伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈基于“以太”存在而生造一个伽利略协变麦克斯韦方程组。该文也说明，其实狭义相对论理论并不与以太假说矛盾，只要把以太看做是洛伦兹协变介质即可。为此该文也把介质麦克斯韦方程组写为协变形式。论文的前半部分内容，当然基本上是已经被物理实验所排除的、“明显的”错误了。但是近日突然有扩展的麦克斯韦方程组成为国家重磅科研进展的新闻成了学术圈热点事件。《物理与工程》编辑发现这篇旧文或许能够对理解当前的问题有所参考，所以就正式发表了，希望能够获得学界认可。论文本身就是从错误前提出发的，所以其中荒诞不经还请读者见谅！

摘 要

针对狭义相对论课程中的相对性原理和光速不变原理之间逻辑关系的争论,本文假设空间中存在以太,把麦克斯韦方程组写成了伽利略协变的形式。此时的光波波速变换满足伽利略速度变换,人可以和光同步运动。伽利略协变理论满足相对性原理而不满足光速不变原理。论文然后假设空间中充满均匀洛伦兹协变以太,把介质中的麦克斯韦方程组写成洛伦兹协变形式。重新定义的波相实现了洛伦兹速度变换。只要真空中的光速无限接近极限速度,实验无法排除这种协变介质理论。伽利略协变电磁理论和洛伦兹协变介质电磁理论之间不是一种简单的推广关系。

In order to figure out the logical relation between principle of relativity and universal speed of light in the vacuum in the teaching of the special relativity, we propose existence of ether and write the Maxwell equations into the Galilean covariant form. The transformation of the velocity of electro-magnatic wave is also shown. Then the Galilean covariant electro-magnetic fields theory satisfy the principle of relativity but violate principle of universal speed of light in the vacuum. After that, we propose the ether is Lorentz covariant and write the Maxwell equations in the medium into the Lorentz covariant form. Finally, we discussed the difference between the Galilean and Lorentz covariant form of Maxwell equations.

伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈

王雯宇 刘新宇 许洋

1　引言

通常的物理教科书在讲解狭义相对论的时候首先都会讲到两个基本原理：相对性原理和光速不变原理。相对性原理指的是所有的物理规律在不同的参考系下的形式是一样的，不存在一个“特殊的”参考系；光速不变原理指的是在不同的参考系下真空中光的速度是一个常数。以此为基础，我们就可以得到狭义相对论运动学，动力学及电磁场论的相关理论。但是长期以来一直存在光速不变原理是不是从属于第一个原理的争论，即如果我们把光的速度看作是一条基本规律，那么由相对性原理可以自然得到光速不变原理。^[1]更有物理学家甚至专门研究了没有光速的狭义相对论。^[2]那么这两个基本原理之间的逻辑关系到底是什么呢？这是一个重要的物理问题。

其实在麦克斯韦方程组建立以后，很多理论和实验物理学家就已经在探索不同参考系变换麦克斯韦方程的形式了。很显然麦克斯韦方程不满足伽利略协变关系。当时的物理学家认为时空中存在着一种非常刚性的，被称为“以太”的介质。麦克斯韦方程组应该在静止的以太介质中成立，当以太运动时方程肯定会改变。物理学家可以通过测量光速的改变来判断物体相对以太的运动速度。这正是迈克尔逊—莫雷实验的最初动机。迈克尔逊—莫雷实验的零结果是狭义相对论的重要实验支持。既然有以太存在可以解决麦克斯韦方程组的伽利略变换问题，那么麦克斯韦方程组就可以写成伽利略协变的形式，即满足相对性原理，而不满足光速不变原理。同样如果空间中存在以太介质，这种介质也完全可以是洛伦兹协变介质。就像介质中的麦克斯韦方程组一样，假若空间中充满一种介质，麦克斯韦方程就必须写成一个四维时空洛伦兹协变的方程组来，此时时空中的光速不再是极限速度。极限速度是比空间中的光速大的另外一个常数。

基于以上讨论，本文我们将不去深究相对性原理和光速不变原理之间的逻辑关系，而反其道而行之，假设空间中存在以太，把麦克斯韦方程组写成伽利略协变的形式，然后将该形式推广为洛伦兹协变的形式。另外，许多关于相对论的科普书籍和爱因斯坦的传记都提到爱因斯坦年轻时曾思考过人跟着光一起走会看到什么的故事。本文也将实现爱因斯坦之梦，探讨人和光同步时的物理现象。由于这些问题其实早已经有了答案，相关的最早文献现在很难找到了，所以本文尽量用当前学界常用的符号把问题以及答案重新描述出来。本文做以下安排：第二部分我们将讨论伽利略协变麦克斯韦方程组，以及人光同步物理现象。第三部分我们将讨论协变以太中的麦克斯韦方程组形式，并分析伽利略协变和洛伦兹协变麦克斯韦方程组之间的关系。第四部分给出本文的总结。

2　伽利略协变麦克斯韦方程组

牛顿力学研究的是物体位置时间的变化规律，麦克斯韦电磁场论研究的是空间中弥漫的场强的变化规律。不管是力学还是电磁场论都取得了巨大的成功，但是他们都面临着这样一个问题，即理论成立的参考系是什么？具体的说就是以下问题：如图1所示，在参考系O 中牛顿力学和麦克斯韦方程组完美地处理了机械运动、电磁现象。然后重新选定一个参考点O ′，O ′在O 系中以水平速度u 水平向右运动（本文只讨论惯性参考系之间的变换）。那么在以O ′为不动点的O ′参考系中，力学的规律是什么，电磁学规律是什么？相应的规律与O 系中的规律是什么关系？这就是力学理论和电磁场论所面临的协变性问题。须知具体的物理过程不会因为参考点选择不同而不同。比如某一事件P对应的是激光照在墙上，闪亮了一下。这个事件在不同的参考系有不同的坐标表示(t,x,y,z )和（t ′,x ′,y ′,z ′），但是闪亮这个物理事实不会因不同参考系而改变。那描述这个物理事实的理论会不会改变？这是物理学家必须回答的问题。

牛顿力学创立之前，伽利略提出了伽利略变换回答了机械运动的参考系变换的问题，牛顿更为深刻地思考了力学理论的协变性问题，在《自然哲学的数学原理》一书提出了绝对时空观的概念。本文不去讨论绝对时空观的深刻意义，只来看一下绝对时空观概念下，伽利略变换以及牛顿力学的协变性。上文已经说明事件不会因参考系不同而改变，但事件坐标描述会改变，一个物体的速度动量也会同参考系选择而改变。因此伽利略坐标变换（写成矢量的形式）

其中t ′=t 就是绝对时间的数学表示。在此基础上，我们知道牛顿力学中加速度a，质量m，力F 不同惯性变换不变

因此牛顿第二定律是伽利略协变的，即

F = ma

在不同参考系下形式不变。当然若要回到牛顿最原始的第二定律公式，必须知道动量p 伽利略变换

p ′=p – mu,

则

伽利略变换协变。

下面来到电磁场论，真空麦克斯韦方程组的形式为

（相关符号表示，大多数物理老师都清楚，不详细说明了。）看上去这个方程每个公式都与牛顿力学公式类似，方程两边都是矢量形式，三维空间旋转不变。但是实际上，麦克斯韦方程组（2.8~2.11）明显不是伽利略协变的。这里读者要了解的是力学和场论的关键区别，力学理论体现的是力的瞬时性和超距性，场论则是局域性的。场强B和E都是时空坐标(r,t)的函数。因此麦克斯韦方程组中每个公式都是对时间或者空间的偏导。当做参考系变换时，由于不同参考系之间坐标变换时间空间坐标是关联在一起的。由绝对时空观，坐标偏导的??算子明显不变，但时间偏导则明显改变（下文详述）。因此麦克斯韦方程组不是伽利略协变的。人类科学史上，从托勒密宇宙体系到哥白尼宇宙体系，从亚里士多德物理学到牛顿力学，科学的发展不断摒弃人类中心说，即人类在自然界中并不特殊，也不存在一个相对人类来说特别优越的惯性参考系。难道麦克斯韦方程组表明绝对静止参考系存在？

正如文献[3]所说，任何理论都可以写成协变形式，所以麦克斯韦方程组（2.8~2.11）当然也可以写成伽利略协变形式，只不过此时应当引入以太。麦克斯韦方程组电磁场是静止以太中的形式。以太运动时，可以将麦克斯韦方程组推广为伽利略协变形式，这也应该是紧随麦克斯韦方程组理论之后一个重要理论工作。其实这种推广非常简单，只需要利用多元函数偏导计算按方法定义变换

即可。

为伽利略变换时间求导。此时注意，电流密度场

J = J (r,t )

按照三维矢量场变换，同时电荷密度伽利略变换会贡献电流密度。因此电荷、电流变换为

由此可知电荷守恒方程

变为

即电荷守恒不变。此时伽利略协变的麦克斯韦方程组为

可以看出u =0方程组就回到静止以太的麦克斯韦方程组。当u 不等于0时，电场强度E 和磁感应强度B 按照三维矢量场变换规则变换，这个方程组是伽利略变换不变的。

下面来看真空中电磁波的传播速度问题。当时空中电流、电荷为0，以太速度为0时，可以通过计算

利用麦克斯韦方程组（2.8~2.11）来得到电场和磁场的运动方程

其中

,为真空中的光速。根据以上伽利略协变的麦克斯韦方程组（2.17~2.20），波动方程为

这个波动方程公式就和杰克逊《经典电动力学》^[4]上的伽利略协变波动方程公式一致了。波速的变换关键点在于相位

的变换。假设在O 系中u =0，相位

波速为

，即

在O ′系中，相位

是一个不变量，则圆频率ω 和波矢量k 的变换为

这个变换可以用图2来理解，伽利略变换中，波矢量k 长度大小不变，而某一点的圆频率因波形向右走的快而变大了。或者我们可以重新定义波相位

为

后面u·kt 项，就是因为以太运动而贡献的相位项，这一项应该是有介质存在的场论中所不能忽略的，后文洛伦兹协变介质理论也必须有对应项。选取u与k沿着x轴同方向时，矢量场A（B 或者E）的波函数为

可以看到，这个波函数满足波动方程(2.23)和(2.24)，即

O 系：

 

O ′系：

 

而把波动方程(2.30)做伽利略变换，同样也可以得到波动方程(2.31)。假设在O ′系中u = 0，波速为

；在O 系中u≠0，波速

为

验证了伽利略速度变换。

回到论文的讨论主题，我们可以看到伽利略协变麦克斯韦方程组（2.17~2.20）可以满足相对性原理，方程组在任何惯性参考系都成立；而不满足光速不变原理，光速按照伽利略速度变换公式（2.2）来变换。因此若要把光速看作恒定的，或者由麦克斯韦方程组推导出真空光速不变结论来，从逻辑上看并不是一定成立的。同样如果我们选取

，O ′系电磁波波速为0，即

就像人在河边看到水面上有一列行波，人跟着波同步走，此时空间中的波形是不动的一样，这是一个很正常的现象，如果爱因斯坦由此可以得到狭义相对论理论，看上去也不太可能。

3　洛伦兹协变以太

第二节讨论内容既有新奇，也很古旧。伽利略协变麦克斯韦方程组理论中存在一个特殊的（u =0）静止参考系。有读者会争论，后来的迈克尔逊莫雷实验寻找（u ≠0）参考系的零结果不就推翻了上述理论么？物理学的真实历史的确是这样的过程，但是当电磁学发展为相对论性理论之后，特殊的惯性系仍然是可以存在的。读者可以试想介质中的电磁理论，光的速度是小于真空的光速。假若人类就像金鱼一样生活在水中，而感受不到水的流动。此时电磁学理论也有一个四维协变理论，真空中的光速不是不变的。有一个恒定极限速度是任何物质也达不到的，光子存在一个微小的质量项。从实验的角度看，只要真空中的光速无限接近这个极限速度，永远也无法排除这种可能性。为此作者下面将讨论四维协变以太中的电磁学理论。

首先来看真空中麦克斯韦方程写成协变形式，引入协变张量

协变坐标

协变电流

则麦克斯韦方程的协变形式为

其中第二式为恒等式。当真空中充满以太，我们必须引入以太的介电常数

和磁导率

，以太中的光速e 为

为了简单起见，这里认为是各向同性以太。以太静止的麦克斯韦方程组的形式即介质中的麦克斯韦方程组

读者可以验证这个方程不是明显洛伦兹协变的，因为此时光速e 不是一个不变量，不能简单地以协变张量

中

改成e 来修改方程。

形式也不能简单地推广为以太存在的四维协变方程。

要得到协变以太的麦克斯韦方程的过程比较复杂，在杰克逊的《经典电动力学》书上语焉不详，本文详细说明其过程。若以太充满空间，除了协变张量

外，还有另外两个协变量，以太中光速

和以太的速度

因为此时以太速度为0，所以

我们要用此时的协变张量、矢量来凑出来介质中的麦克斯韦方程组。同时要注意因为介质静止，空间各项同性，协变以太中光速

只能用到

和

，而与e 的方向无关。

可以由

得到。

可以由

算出

由此

可以用这样方式得到协变形式

即凑出协变形式的麦克斯韦方程组，多出的项由

来组成即可。最终我们可以得到以太中协变麦克斯韦方程组形式为

读者可以验证上式可以得到以太协变麦克斯韦方程组。比如取ν =0

再加上恒等式（3.35），协变以太中的麦克斯韦方程组写成场强B 和E 的形式：

这个方程组的形式比u =0时的形式复杂多了，但是这才是最一般的均匀协变以太存在时的麦克斯韦方程组。对比第二节伽利略协变麦克斯韦方程组（2.17~2.20），方程组并不是简单的伽利略协变方程组的相对论推广。因为伽利略协变麦克斯韦方程组是把一个洛伦兹协变理论硬推广为伽利略协变形式，而方程组（3.49~3.50）不是明显洛伦兹协变的，而推广为洛伦兹协变形式，而公式（3.51~3.52）因为是恒等式，所以洛伦兹协变理论中不用修改，在伽利略协变理论中则必须修改为公式（2.19~2.20）的形式。

当我们用以上方程组来计算平面波时，问题也会复杂很多。波的相位

是个不变量

相位

是洛伦兹不变量。在协变以太中，

显然不能做为相位了，因为对于

来说，必须满足

来保证真空光速不变。要写出协变相位，必须加入

和

。经过和上面相同的步骤可得协变相位为

和第二节一样，后面的

就是介质运动贡献的相位项。读者可以验证，当u =0时

波速

为相速度

变换参考系（u≠0）波相为

当u与k平行时波速为

这正是相对论的速度变换，我们可以计算

得到磁场B 的波动方程

也可以计算

得到

似乎这不是一个平面波的方程。其实利用关系

可以得到

因此电场的方程也可以修改为

波动方程（3.60）和（3.64）可以看作是伽利略协变波动方程（2.23~2.24）的相对论推广。其实它们也可以写成协变形式

其中

就是第二节伽利略协变时间导数

的相对论推广。这样形式的波动方程的洛伦兹协变性就是明显的了。读者可以验证在以上的波相定义的平面波

恰好满足上面的波动方程（3.65）。

以上推导过程可以看出我们完全可以得到一个时空中充满以太的麦克斯韦方程组，该方程组可以看作是真空以及介质中麦克斯韦方程组更为一般的推广，满足狭义相对论的协变性要求。此时真空中的光速是可变的，跟上节伽利略协变的结果类似，人也可以和光波同速，也没有什么奇特的现象。再次强调一下，只要e 无限接近于

，实验是完全不能排除该理论的。而现在实验怎么验证该理论，或者说现在实验给出的e 的下限是多少，这已经超出本论文要探讨问题的范围了，这里就不再详谈了。

4　结论

针对狭义相对论课程中的相对性原理和光速不变原理之间逻辑关系的争论，本文假设空间中存在以太，引入伽利略协变的时间导数，把麦克斯韦方程组写成了伽利略协变的形式。此时的光波波速变换满足伽利略速度变换，人可以和光同步运动。伽利略协变理论满足相对性原理而不满足光速不变原理。这样，通常物理教科书写的相对性原理推导光速不变原理的结论就不成立了。论文然后假设空间中充满均匀洛伦兹协变以太，把介质中的麦克斯韦方程组写成洛伦兹协变形式。此时需要引入重新定义的波相来实现洛伦兹速度变换。只要真空中的光速无限接近极限速度，实验无法排除这种协变介质理论。论文还对比了伽利略协变电磁理论和洛伦兹协变介质电磁理论，发现它们之间不是一个简单的推广关系。作者写这样一个看上去近似于错误的论文的目的是想说明爱因斯坦创立相对论的过程也许并不像我们想象的那样简单。在相对论的教学中，教师必须以更加严谨的态度来看待相对性原理和光速不变原理，推荐读者阅读参考文献[5]了解更多内容。

参考文献

[1]张三慧，大学物理学——力学、热学[M]. 3版. 清华大学出版社.

[2]MERMIN N D. Relativity with out light[J]. Am.J.Phys., 1984: 119-124. 

[3]王雯宇，王丝雨，许洋. 大学物理和场论课程中的协变性浅谈[J]. 物理与工程，2017，27(1)：30-36.

[4]JACKSON J D. Classical Electrodynamics (影印版). 高等教育出版社. 

[5]张元仲.爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步[J]. 物理与工程，2015，25(3)； 

狭义相对论洛伦兹变换的推导及其他[J].物理与工程.2016，26(3)； 

为什么说狭义相对论是近代物理学的一大支柱[J].物理与工程，2017，27(2).

引文格式:  王雯宇，刘新宇，许洋. 伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈[J]. 物理与工程，2022，32（1）：00-00.

Cite this article: WANG W Y, LIU X Y, XU Y. On the Galilean and Lorentz covariant Maxwell equations[J]. Physics and Engineering, 2022， 32（1）：00-00. (in Chinese)

END

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