高考数学大题专题第3讲（立体几何）：求二面角的正弦值

高考数学大题专题第3讲：立体几何大题。

题目：

第（1）问分析：题中给出了三角形A₁BC面积，需要求解的是点A到平面A₁BC的距离，再结合直三棱柱的体积为4，很容易想到使用等体积法解题，即棱锥A₁-ABC的面积＝棱锥A-A₁BC的面积。

第（2）问分析：观察可发现，平面A₁BC和平面ABC都垂直于平面ABB₁A₁，所以交线BC肯定垂直于平面ABB₁A₁，由此可知BC垂直BA，所以BA、BB₁、BC两两互相垂直，所以可以考虑建立空间直角坐标系，把空间几何问题转化为空间向量问题。

因为要建立空间直角坐标系，所以需要先证明BC垂直AB，又因为需要求各向量的坐标，所以还要求出一些必需的线段长度。所以接下来证明BC垂直AB，并求出各条必需的线段长度。

咱们得到了BA、BB₁、BC两两互相垂直，所以接下来把BC，BA，BB₁分别当作x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

求二面角A-BD-C的正弦值，需要先求出平面CBD和平面ABD的法向量。

接下来先求平面CBD的法向量。

再求平面ABD的法向量。

然后根据向量数量积公式，即可求出二面角A-BD-C的正弦值。

本系列专题涵盖高考数学必考的全部六道大题，每节讲一道，题目选自各名校最新题型，题目数量没有限制，专题会根据高考形势的变化不断增加更新，加油！