认知即思索：微分方程的意义是什么（一）

本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看，也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药（笑）

牛顿

什么是微分方程呢，我们将通过几个实例带大家了解它。话不多说，让我们开门见山：

首先映入眼帘的是这样一个实际问题：

大家一眼看上去感觉很迷茫：两个未知量xy，还有两个微元小量 dx dy，然后是一个等式连接的，求解？是求谁的解呢？

这就是微分方程的一种形式之一，我们究竟是要干什么呢？我们要做的工作是把这个抽象的等式变成 y=f（x），这一求y=f（x）的过程就称为求解：

但是有两个未知量xy，还有微元小量 dx dy啊，怎么处理就能把变成y=f（x）这种形式的方程组呢？真是让人感到匪夷所思。不过，聪明的前人经过了多次失败和试错，终于是找到了办法：

第一步，把它倒过去

然后：分离变量：

我们知道：

如果你懂最基本的微积分，你就会看懂这个基本的微分公式（不懂可以看笔者之前的文章）

所以，我们可以得到：

c2-c1也可以，无所谓的，甚至加起来也无所谓，因为两个c都是不确定的常数

把右边ln加到左边，根据ln乘法的性质，可以得到：

我们现在得到这样一个东西：

然后你问了，你不是说必须得到y=f（x）这种形式吗？

说得不错，于是我们继续分析。

当x=±1的时候，C3=0,y是任意的。

当x≠±1的时候：

我们终于等式变函数，使得y和x金蝉脱壳了。对于y=f（x）这样的一元函数，我想大家已经了解其中的意义了吧？

我们把这两种情况下的解合到一块儿，就是所谓的通解，通解的意思就是所有情况的解。

我们发现y取决于C3，如果C3=0,不论x取什么值，y都等于0。如果C3取个1，就有别的解了，如果只把x等于±1看做上面那个等式的一种解，也是一种独立的情况。

我们把某个特定情况（比如被初始条件限制）下的方程解叫“特解”。它只是特定情况下的解，是被通解包括进去的。

这就是通解和特解的大致概念。我这个人向来不喜欢专业术语，大家知道意思就行了，正如我的一位朋友所言：认知皆模型。我们要透过现象看本质。