引言：在前一节中，我们看到了齐次线性二阶微分方程的一般解
是一个线性组合，其中和是构成某个区间上线性独立集合的解。从下一节开始，我们将研究一种确定这些解的方法，当方程（1）中的系数是常数时，这种方法是一个简单的代数练习，但在一些情况下会失败，只能得到微分方程的一个解。事实证明，即使在方程（1）中的系数是可变的情况下，只要我们知道微分方程的一个非平凡解，我们也可以构造出方程（1）的第二个解。本节描述的基本思想是，通过使用已知解进行替代，可以将方程（1）降阶为一阶线性微分方程。在解决了这个一阶微分方程后，第二个解就显而易见了。
假设表示方程（1）的一个非平凡解，并且在区间上定义。我们寻找第二个解，使得由和构成的集合在上线性无关。回顾一下第4.1节，如果和线性无关，那么它们的商在上不是常数，即或。通过将代入给定的微分方程，可以找到函数。这种方法称为降阶法，因为我们必须解一个一阶线性微分方程来找到.
已知 是在区间上的方程的解，使用降阶法找到第二个解。
解：如果，则使用乘积法则可以得到
因此
由于，最后一个方程要求。如果我们进行代换，则中的这个线性二阶方程变成了，这是关于的线性一阶方程。使用积分因子，我们可以写成。积分后，我们得到或。再次积分得到。因此
通过选择和，我们得到所需的第二个解。因为对于每个，，所以这些解在上是线性无关的。
由于我们已经证明和是线性二阶方程的线性无关解，所以（2）中的表达式实际上是在上的方程的通解。
一般情况下，假设我们通过除以将方程（1）化为标准形式
其中和在某个区间上连续。进一步假设是方程（3）在上的已知解，并且对于该区间内的每个，。如果我们定义，则有
这意味着我们必须有
其中我们令。注意，（4）中的最后一个方程既是线性的又是可分离的。分离变量并积分，我们得到
我们解最后一个方程以得到，使用，然后再次积分：
通过选择和，我们从中找到方程（3）的第二个解为
需要验证函数满足（5）中定义的方程（3），并且在不为零的任何区间上，和是线性无关的。
函数是方程的解。在区间上找到该微分方程的通解。
解：从方程的标准形式出发，
我们可以使用（5）得到
在区间上，通解为；也就是说，。
注意:
这里已经演示了公式（5）的推导和使用，因为该公式在下一节以及第4.7节和第6.3节中再次出现。我们使用（5）只是为了节省在获得所需结果时的时间。
无论何时我们已知与齐次方程的关联方程的解，我们都可以使用降阶法找到非齐次方程的通解。
公式（5）中的积分可能是非初等的。在这种情况下，我们可以将第二个解写成一个积分定义的函数形式：
其中我们假定被积函数在区间 上连续。
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