柯西不等式、最大最小值

柯西不等式全称为“柯西-布尼亚可夫斯基-施瓦茨不等式”，是法国数学家柯西首先发现的，通过后两位数学家彼此独立地进行完善，最后得到今天近乎完美的不等式形式。

中学阶段使用到的主要是它的二维形式：

当且仅当ad=bc时，上式取等。

这里的a，b取值都是实数，没有正负的要求。

二维形式的不等式证明起来很简单，代数法证明直接把不等式左边展开：

上式中，很明显，如果ad=bc，那么

如果ad≠bc，那么

从而说明：

综合以上两种情况就可以得出结论：

你当然也可以采用把不等式左、右作差的方法，展开后就会得到一个完全平方式，同样也可以得到证明。

我个人比较喜欢用较为直观的向量法来证明它，假设两个向量的坐标分别为(a,b)和（c,d）:

两向量数量积几何运算的结果为：

如果采用坐标运算的话，结果是这样：

二者是相等的：

两边平方，就会得到它的一般形式：

当且仅当两向量平行时，取等。

当然你也可以采用纯粹几何的方法去证明它，不过，对于这种二维形式的不等式，它本来就是从它的一般形式简化而来的，能证明它的一般形式才是必要的，其它简化形式，只需能从数理上得到使用者的认同即可，没必要在简单形式的证明方法上耗费更多的时间。

柯西不等式的一般形式是这样的：

有人愿意写成张牙舞爪的西格玛和式：

取等的条件是

这个一般式可以用拉格朗日恒等式去证明，也就是把不等式左右两边展开后作差，就会得到n个独立的完全平方式。不过这儿是写给中学生看的，证明过程就免了！

柯西不等式的二维形式，用向量的观点理解起来最为明确，也就是两向量模长相乘，肯定大于两向量的数量积的绝对值。

柯西不等式的二维形式在中学中的主要应用是求取某些函数的最值，比如：

定义域在[5，9]，y是大于0的，这个函数可以看成：

也就是这样：

当且仅当下式成立时，上式取等。

再来一个多元的题目：

设实数a,b,c,d,e满足：

把条件和柯西不等式比较，形式还是很相似的，也就是：

直接将条件代入显然成立：

我们把e作为未知量拿出来，条件就会变成：

也就是：

解得：

当且仅当：

上式取等.

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