冲刺2018年高考数学, 典型例题分析5：直线与椭圆相关综合问题

已知椭圆C： =1x2/a2+y2/b2=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点

分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），椭圆上有一点A与

两焦点的连线构成的△AF1F2中，

满足∠AF1F2=π/12，∠AF2F1=7π/12．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC，CD，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1·k2=k3·k4，求OB2+OC2的值．

考点分析：

圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．

直线与椭圆位置关系的判断：

将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：

当Δ>0时，直线和椭圆相交；

当Δ＝0时，直线和椭圆相切；

当Δ<>

题干分析：

（1）在△AF1F2中，由正弦定理得a，结合焦点坐标求出c，求解b，可得椭圆方程．

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1）．通过斜率乘积转化求解OB2+OC2的值即可．