以全等为核心考法的几何压轴，多少同学倒在辅助线这一关！

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在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是边BC上一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E，

(1)如图1所示，∠BAD=30°，若CD=2，求DE的长；

(2)如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O,若点O恰好平分线段AD，求证：CF=BE+

CD；

(3)如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP=BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出

的值.

解：(1)如图，设BD=m,则AB=

m,而BA=BC，得m+2=

m,得m=

+1，AD=2+2

，由角平分线定理得AE：DE=AB：BD，故DE=2

另法，连接CE，易知△BEA≌△BEC，得∠DCE=30°，而∠ADB=60°，故∠DEC=30°，故DE=DC=2

(2) 过点D作DM⊥AC于点M，连接OB、OM,O为AD的中点，故OB=OM=OA=OD，设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠BOD=2β，∠MOD=2α，故∠BOM=90°，而∠DOF=90°，故∠BOE=∠MOF；而∠BEO=180°-β-45°=135°-β，∠OFM=90°+α=90°+45°-β=135°-β，即有∠BEO=∠OFM，于是△BOE≌△MOF，BE=FM，而CM=

CD，故CF=BE+

CD

(3) 过点A作AG⊥AB交QP延长线于点G，作BFAD于点F，∠BEF=45°+∠BAD，∠APQ=90°-∠PAQ=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD,故∠BEF=∠APQ，而AP=BE,∠AQP=∠BFE,故△APQ≌△BEF，

而AQ=BF,∠BAF+∠GAQ=90°，∠ABF+∠ABF=90°得∠GAQ=∠ABF,∠BFA=∠AQG=90°,得△AGQ≌△BAF，AG=AB，设AB=2，则点Q在以AG为直径的圆上运动，圆心为M，当B、Q、M共线时BQ取最小值；此时BQ=

-1，

,而BD=

-1，由角平分线定理知S_ABE：S_BDE=2:(

-1),

,故

点评：题目第二问可能对很多同学而言有难度，主要在于辅助线作不出来；思路可能有蛮多，但中点联想到的辅助线，可能让很多同学没有想到；而压轴一问仍然以全等开头，考查动点轨迹，后续的计算也略显复杂，对学生确实是一个重大考验！

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