26. 如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=,CD=12,DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA',∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A^' P．
（1）若点P在AB上，求证：A'P=AP；
（2）如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为 ，求tan∠ A'MP的值；
（3）当0<x≤8时，请直接写出点A'到直线AB 距离．（用含x的式子表示）．
2023年河北省中考数学压轴大题第26题
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．可多次用到一线三垂直构造相似三角形巧妙解题.
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到A'M=AM，∠A'MP=∠AMP，然后证明出△A'MP≌△AMP('SAS' )，即可得到A'P=AP；
（2）①首先根据勾股定理得到BD==10，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD=90°；过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，一线三垂直构造相似三角形，然后证明出△PQB∽△DBA，利用相似三角形的性质求出PB=5，x=AB+PB=5+8=13；
分类讨论，当P点在AB上时，PQ=2，∠A'MP=∠AMP，分别求得BP,AP，根据正切的定义即可求解；当P在BC上时，则PB=2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，再一次构造一线三垂直构造相似三角形，证明△PQB∽△BAD，得出PQ=4/5 PB=8/5，BQ=3/5 PB=6/5，进而求得AQ，证明△HPQ∽△HMA，即可求解；
（3）如图所示，过点A'作A'E⊥AB交AB于点E，过点M作MF⊥A'E于点F，则四边形AMFE是矩形，证明△A'PE∽△MA'F，根据相似三角形的性质即可求解．
小问1详解
∵ 将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA'，
∴A'M=AM
∵∠A'MA的平分线 所在直线交折线AB-BC于点P ，
∴∠A'MP=∠AMP
又∵PM=PM
∴△A'MP≌△AMP('SAS' )
∴A'P=AP；
小问2详解
①∵AB=8，DA=6，∠A=90°
∴BD==10
∵BC=2，CD=12
∴，
∴∠CBD=90°；
如图所示，当n=180时，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，
∵PM平分∠A'MA
∴∠PMA=90°
∴PM∥AB
∴PQAM为矩形
∴ PQ＝MA＝AD-DM＝4
∴△PQB∽△BAD
∴PQ/BA=QB/DA，即4/8=QB/6，
解得QB=3，PB=5
∴x=AB+PB=8+5=13．
②如图所示，当P点在AB上时，PQ=2，∠A^' MP=∠AMP
∵AB=8,DA=6,∠A=90°，
∴BD==10，sin∠ DBA=，
∴BP=，
∴AP=AB-BP=8-10/3=14/3
∴tan∠ A'MP=tan∠ AMP=；
如图所示，当 在 上时，则PB=2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，
∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°，
∴∠QPB=90°-∠PBQ=∠DBA，
∴△PQB∽△BAD
∴即PQ/8=QB/6=PB/10
∴PQ=4/5 PB=8/5，BQ=3/5 PB=6/5，
∴AQ=AB+BQ=46/5
∵PQ⊥AB,DA⊥AB
∴PQ∥AD，
∴△HPQ∽△HMA，
∴HQ/HA=PQ/AM
∴HQ/(HQ+46/5)=(8/5)/4
解得：HQ=92/15
∴tan∠ A^' MP=tan∠ AMP=tan∠ QPH=HQ/PQ=(92/15)/(8/5)=23/6，
综上所述，tan∠ A'MP的值为7/6或23/6；
小问3详解
解：∵当0<x≤8时，
∴P在AB上，
如图所示，过点A'作A'E⊥AB交AB于点E，过点M作MF⊥A'E于点F，则四边形AMFE是矩形，
∴AE=FM，EF=AM=4，
∵△A'MP≌△AMP，
∴∠PA'M=∠A=90°，
∴∠PA'E+∠FA'M=90°，
又∠A'MF+∠FA'M=90°，
∴∠PA'E=∠A'MF，
又∵∠A'EP=∠MFA'=90°，
∴△A'PE∽△MA'F，
∴
∵A'P=AP=x，MA'=MA=4，设FM=AE=y，A'E=h
即,
∴y=4(x-y)=x(h-4)
∴x(h-4)
整理得h=
即点A'到直线AB的距离为．
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