专题13 二次函数
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（山东菏泽市·中考真题）一次函数
A．
C．
【答案】B
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
2．（四川达州市·中考真题）如图，直线
A．
C．
【答案】B
【分析】
根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】
解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
3．（陕西中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【详解】
解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
4．（新疆中考真题）二次函数
A．
【答案】D
【分析】
根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】
解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一、三象限，
∴只有D选项的图像符合题意；
故选：D．
5．（湖北黄石市·中考真题）若二次函数
A．
【答案】D
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
6．（天津中考真题）已知抛物线
①
②关于x的方程
③
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
【详解】
∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
∵，而
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
故选：C.
7．（山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度
A．
【答案】C
【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
8．（辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，二次函数
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④．
【详解】
解：由函数图像的开口向下得＜
由对称轴为＞ 所以＞
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得：＞，
＜
＞，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点在第三象限，
＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
9．（浙江杭州市·中考真题）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【答案】C
【分析】
当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【详解】
解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
10．（湖北襄阳市·中考真题）二次函数
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
【答案】﹣3＜x＜1
【分析】
根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
12．（江苏淮安市·中考真题）二次函数
【答案】(-1,4)
【分析】
把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
【详解】
解：∵=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
13．（辽宁朝阳市·中考真题）抛物线
【答案】且
【分析】
直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
【详解】
解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
14．（江苏连云港市·中考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
【答案】3.75
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
15．（山东青岛市·中考真题）抛物线
【答案】2
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
【详解】
解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（甘肃兰州市·中考真题）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月
【答案】；第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【分析】
(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．
【详解】
由题意可知；
根据题意可得：，
，
，
，
函数有最大值，
当时，w有最大值为3200元，
第20天的利润最大，最大利润是3200元．
17．（山东临沂市·中考真题）已知抛物线
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【详解】
（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
18．（甘肃金昌市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若
（3）连接
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
19．（安徽中考真题）在平而直角坐标系中，已知点
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】
（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】
（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
20．（江苏宿迁市·中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） | 55 | 60 | 65 | 70 |
销售量y（千克） | 70 | 60 | 50 | 40 |
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
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