§2.2 函数的单调性与最值
考试要求
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为f(x)的最大值
M为f(x)的最小值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．( × )
(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( × )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( × )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
答案 D
2．y＝在[3,4]上的最大值为( )
A．2 B. C. D．4
答案 A
解析 y＝＝＝＋1，
∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，
∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
∴2x－1≥0，即x≥，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
∴2x－1<，即x<，
则x的取值范围为.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
答案 AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于选项C，y′＝2－2sinx≥0，
∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－1<x1<x2<1，
所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
方法二 f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递减区间为.
(2)函数f(x)＝
的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝
分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，
u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，
根据复合函数单调性得到函数f(x)＝
在(－∞，－1)上单调递增．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝
，c＝
，则a，b，c的大小关系是( )
A．c<b<a B．a<c<b
C．a<b<c D．c<a<b
答案 B
解析 ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝
在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴
，
又0<ln <1，
∴
，
∴
，
即a<c<b.
命题点2 求函数的最值
例4 函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．
答案
解析 y＝＝x－在[1,3]上单调递增，
y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，
∴f(x)在[1,3]上单调递增，
∴f(x)max＝f(3)＝－0＝.
命题点3 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由f(x)＝x－log2(x＋2)知，
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，
且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
∴
解得0<a<1.
命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C．(0,1) D．(0,1]
答案 B
解析 因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，
所以解得0<a≤，
所以实数a的取值范围为.
思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)在R上单调递增，
因为f(4)＝2，
所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)，
故2x－1<4，即x<.
(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案 [1,2)
解析 f(x)＝＝＝1＋，
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
∴⇒1≤a<2.
课时精练
1．下列函数在R上为增函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
答案 B
解析 y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；
y＝x在R上为增函数，故选项B正确；
y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误；
y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误．
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
答案 B
解析 ∵y＝|x－2|＝
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，
∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为( )
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
答案 C
解析 f(x)＝＝2＋，
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，
∴f(x)∈(2,3]．
4．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有( )
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
答案 A
解析 因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，
所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.
又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上单调递增．
又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，
即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．
5．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
答案 BC
解析 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；
若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
则a≥0或a＋1≤0，
即a≤－1或a≥0，故C正确；
当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，
当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，
故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．
6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
答案 BCD
解析 当a>0时，f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
又当x→－∞时，f(x)→－∞，
当x→0－时，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域为R，故D正确；
当a＝－4时，f(x)＝x＋，
由其图象(图略)可知，B，C正确．
7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
答案 (－∞，－3]，[0,3]
解析 由题意得函数f(x)＝
当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，
当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，
综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]．
8．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________．
答案 f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)
解析 由题意知，
f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，
则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，
当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，
所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题．
9．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
解 (1)f(x)＝x|x－4|
＝
函数图象如图所示．
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)．
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．
解 (1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝
，
∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，
∴
，
∴
－
<0,
＋1>0,
＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在R上单调递增．
11．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案 D
解析 在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，因此解得a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
12．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．
答案 (0，＋∞) (0,1)∪(1,2)
解析 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.
13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，
∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，
令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，
又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．
14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
答案 D
解析 ∵a＝ln3>ln e＝1，b＝lg5<lg 10＝1，c＝log126<log1212＝1，
∴a>b，a>c，
∵lg5＝＝，log126＝＝，
∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0<log25<log26，
∴f(log25)<f(log26)，即lg 5<log126，
∴a>c>b.
