高中数学： 函数的单调性

1、观察气温变化图，说出气温在哪段时间段内是升高的或下降的？

2、在某一区间内，

当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势

当x的值增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势

如何用x与来描述上升的图象？

在给定区间上任取

如何用x与来描述下降的图象？

    在给定区间上任取

    

［定义］

1、一般地，设函数

定义域为A，区间

。如果对于区间I内的任意两个值

，当

时，都有

，那么就说

在区间I上是单调递增函数，I称为

单调递增区间。

如果对于区间I内的任意两个值

，当

时，都有

，那么就说

在区间I上是单调递减函数，I称为

单调递减区间。

2、一般地，设

的定义域为A，若存在定值

，使得对于任意

，有

恒成立，则称

为

的最大值。

若存在定值

，使得对于任意

，有

恒成立，则称

为

的最小值。

［思考］

1、（1）若函数

在R上单调递增，比较

与

的大小。

（2）若函数

在

上单调递增，则

（a）比较

与

的大小；

（b）对于任意的

，与

？

2、（1）已知

在R上单调递减且

，求a的范围。

变：若

，求x的取值范围。

例1、证明函数

在R上是增函数。

证明：（1）取值

设

是R上的任意两个实数，且

，则

（2）作差

（3）判断

由

，得：

于是

（4）结论

所以，

在R上是增函数。

例2、判断函数

的单调性，并写出单调区间。

解析：此函数定义域为

首先画出函数

的图象

从图象上观察，我们可知，函数

在

和

上均为单调递减。

∴函数

的单调减区间为

和

注意：我们能说函数

在整个定义域内单调递减吗？为什么？

例3、求证：函数

在区间

上是单调增函数。

证明：（1）取值

设

是

上的任意两个实数，且

，则

（2）作差

（3）判断

又

（4）结论

所以

在区间

上是单调增函数。

例4、如图，定义在闭区间

上的函数

的图象，根据图象说出

的最大值、最小值及单调区间。

解析：函数

的单调减区间为

和

，以及

函数

的单调增区间为

和

最大值为

，最小值为

例5、已知函数

的定义域是

。当

时，是单调增函数；当

时，是单调减函数。试证明在

时取得最大值。

证明：因为当

时，是单调增函数

所以对于任意

都有

又因为当

时，是单调减函数

所以对于任意的

都有

因此，对于任意

都有

即在

时取得最大值。