经开外校八（8）班全等模型展示讲解之婆罗摩笈多

全等模型 之 婆罗摩笈多

相关组织：武汉经开外国语学校808天鲲之家

制作人员：姜居政，杜奕鸣，叶依郡，薛彩儿

审核：谢紫璇，刘睿熙

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。关于这个人——婆罗摩笈多：

他是一位古印度学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的回合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。他表示负数的方式就是在数上面加一个小点或小圈，并给出了关于负数的“ 运算法则 ”，就是正数、负数之间的四则运算的结果的正负性。他的负数概念极其运算法则，仅晚于中国（《九章算术》），而早于世界各地的其它国家，可谓是相当领先的。

今天要介绍的是以他的名字命名的定理——婆罗摩笈多定理。

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。

(注意一下婆罗摩笈多模型的中点和垂直是可以互推的，但是在这里笔者只用到中点推垂直)

答案（全等）证出来过后用的文字：上面的全等证明出来之后，面积相等的证明比较简单，这里不作赘述

婆罗摩笈多模型：1.等腰Rt三角形2.旋补三角形3.圆中应用

对定理条件进行弱化，可得模型如下图

①如图，两个等腰直角三角形Rt△ABO和Rt△CDO，顶点重合，连接AC,BD,此时：①如果F是AC中点，那么一定有EF⊥BD,
②如果EF⊥BD，那么一定有F是AC的中点。

以上两个结论可以互推。

另外得到两个结论：③

；④2FO=BD。

如图，已知 AK = BK , CK = HK ，且∠ AKB = ∠CKH =90º, N 为 AC 的中点，延长 NK 交 BH 于 M 点，证明： NM⊥BH ， AC =2KM

思路:

①反向延长IC到点P，使PI=IC，连接PG

先证明△DIC≌△GIP(SAS)，所以DC=PG,∠DCI=∠P，则DC∥PG

∵四边形ABCD、CEFG为正方形

∴DC=BC，CE=CG，GCE=BCD=90°

∴BC=PG

∵DC∥PG

∴∠PGC+∠DCG=180°

且∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG

∴∠PGC=∠BCE

则△PCG≌△BEC(SAS)

∴∠PCG=∠CEB

∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°

∴∠CEB+∠ECH=90°

∴∠CHE=90°

∴CH⊥BE

思路:

①分别过点D、G作DM⊥CI与点M,NG⊥CI于点N

∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3

由已知条件可得△CDM≌△BCH(AAS)

∴DM=CH，CM=BH

同理△GCN≌△CEH(AAS)

∴NG=CH，NC=HE

∴NG=DM

再证明△DMI≌△GNI(AAS)

∴DI=IG，MI=NI

则点I为中点