三角形的中位线在四边形中的应用

　单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。

　　例1.已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH是平行四边形吗？

分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？

　　例2.已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，试说明AD+BC＞2EF。

　　分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。

例3.已知：如图，四边形ABCD，AC、BD交于点O，且AC＝BD，点E、F分别是AB、CD中点，连结EF交AC、BD于G、H，试说明OG＝OH。

　　分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。

下面两道题留给同学们思考。

　　（1）已知：四边形ABCD，点M、N分别是AD、BC的中点，点P、Q分别是AC、BD的中点，且AC＝BD，试说明MN⊥PQ。

（2）已知：如图，四边形ABCD，AB＝CD，点E、F分别

是AD、BC的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点

G、H，试说明∠BGF＝∠CHF。