特殊四边形背景下的归纳推理问题

# ONE

在几何问题中，也渗透着“归纳推理”思想。最常见的就是点的运动问题，某个结论在线段上成立，其采用的思想方法和问题解决的途径在线段延长线上亦然成立。再比如，一些数学模型也是从大量的问题中凝练而来，当然也渗透着归纳推理的思想，能否抽象出模型，并应用于新的情境中，成为了问题解决的关键。

part1

「问题背景」

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解法分析：本题的第(1)小问的解决有以下三个切入点：

解法1：根据CE是∠ACD的平分线，可以求出图中所有角的度数，继而得到△BCE为等腰三角形，从而得到DE的长。

解法2：根据CE是∠ACD的平分线，利用角平分线的性质定理，向角的两边作垂线，通过解直角三角形的方式求出DE的长度。

解法3：根据CE是∠ACD的平分线，可得∠ECO=22.5°，从而利用特殊角的三角比可以求出DE的长度。

问题一般化：若正方形的边长为a，则如何用含a的代数式表示DE的长度？通过以上分析，可以发现方法1最为简单，同时可以得到DE=√2a-a

解法分析：本题的第(2)问可以用以下两种方法进行解决：

解法1：根据第(1)问的解法1可得∠FEB=∠ECD，BE=BC=CD，从而得到△BEF和△DCE全等，得到BF=DE，进而求出AF的长。

解法1：根据第(1)问的解法2，利用“一线三直角模型”构造全等三角形，从而得出AF=2AM。

part2

「方法归纳」

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解法分析：变式问题1在基本问题的铺垫下，可以得到△DEF也是等腰三角形，从而得到AF=AD-DE。

通过上述问题1和变式问题的探索，我们可以抽象出一个基本图形，并且得到更为一般化的结论，继而解决变式问题2。

因此注重图形的观察，选择合适的方法，才能归纳出问题解决的一般方法，进而抽象出数学模型，助力问题解决。

part3

「问题变式」

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解法分析：本题虽然将题目中的正方形变为含60°角的菱形，但是图形虽然变了，但是图形的对称性没有变，角和边的特殊性没有变。

对于第(1)问的可以迁移原问题的第(1)问而来，即发现△ECD为等腰三角形。

对于第(2)问的解决，由第(1)问的全等类比迁移为相似，或者采用解三角形的形式亦能达成目的。

低于第(3)问的解决，可以利用EG-BC-X型基本图形，也可以利用解三角形进行解决。

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