解直角三角形的常用方法和典型例题

解直角三角形的常见类型及常见方法

       注意：在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算。

        对于解非直角三角形，可以参照所给的条件添加合适的高。

概述

解三角形主要有以下几种方法：

途径1：寻找这个角所在的直角三角形，直接求解；

途径2：当没有现成的直角三角形时，构造直角三角形，往往借助等积法求高；

途径3：利用“等角的三角比相等”，寻找或构造等角。

解法分析：本题的背景是共顶点旋转的相似三角形，因此联结对应顶点后又可以产生相似三角形，因此本题的第(1)问迎刃而解；本题的第(2)问是求旋转角的度数，通过作高解▲BCD可以达成，因为有了旋转的背景，无形中增加了难度。

Part.1 利用等角

解法分析：对于“双直角三角形”而言，常常会出现等角，同时对于等腰三角形而言，借助“等腰三角形的三线合一”定理，也能构造出等角。

Part.2 利用角平分线的性质定理

对于题目背景中含有“角平分线”的问题，往往可以借助角平分线的性质定理添加辅助线，常见的辅助线的添加方法是“往角的两边作垂线”或“构造三线合一”的基本图形。

解法分析：本题的第(1)问借助等腰三角形的三线合一定理解三角形；本题的第二问借助角平分线的性质定理，进行线段的转化，再利用“同一个角的锐角三角比相等”求线段长度。

解法分析：本题的第(1)问通过解▲ABD可以达成，通过过点D作AB边上的垂线可以达成；本题的第(2)问借助角平分线的性质定理添加辅助线即可，有两种解决办法：

Part.3 利用A/X型基本图形

对于题目背景中出现“燕尾三角形”或“比例线段”时，往往可以通过作平行线构造A/X型基本图形，再通过解直角三角形求线段长度。

解法分析：本题的第(1)问是证明线段间的比例关系，借助直角三角形斜边中点的性质可以达成线段倍半的转化；本题的(2)问是典型的“燕尾三角形”，通过添加平行线(过关键点A作平行线)，求得线段间的比例关系，通过解直角三角形求得相应线段的长度。

综合应用

解法分析：本题的第(1)问是E与A重合的特殊情况，此时可以得到一组共边型的相似三角形，通过列出比例关系，即可求出CE的长度。

解法分析：本题的第(2)问是建立函数关系，由DE:DC可以确定是▲DCE，由BF=x，可以根据▲DCE和▲BCF相似，建立数量关系，因此问题的关键变为如何求CF的长度，通过过点F作BC的垂线，用含x的代数式表示CF。

解法分析：本题的第(3)问是直角三角形的存在性，需要分类讨论，即∠F与∠C为直角的情况。此时根据题意画出图形，寻找与∠B相等的等角，解三角形即可。

解三角形是我们求线段长度和角度的重要工具。当确定3个元素时，就可以借助做高法解出三角形，同时也要灵活运用相似三角形和比例线段中的基本图形和常见模型，可以助力我们较为轻松地求出相关结论。

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