旋转相似型模型的应用

对于旋转型相似(手拉手三角形)模型，有以下特点：

‍‍1、两个三角形相似；

2、这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；

3、图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)

本文适宜先阅读完成“旋转相似型模型”后再进行后面的练习，尤其在学完相似三角形的判定定理后进行练习，对于判定的理解和应用起到加深的作用。

基本问题讲解

解法分析：本题是典型的旋转相似型模型。本题的第(1)问利用DE//BC，CD与BE的数量关系利用DE-BC-A型图建立数量关系。本题的第(2)问中利用模型可知，△ACB和△ADE相似，因此对应边CD和BE的比为AC和AB的比；本题的第(3)问是第(2)问的一般情况，仍旧有△ACB和△ADE相似，对应边CD和BE的比为AC和AB的比，通过过点C作高，利用sinα建立数量关系。

变式问题强化

变式问题1

解法分析：本题是典型的旋转相似型模型。和上述的基本问题解决策略相仿。本题的第(1)问根据模型，可以通过联结BE构造全等三角形，继而将求AD的长转化为求BE的长，同时发现△ABE为直角三角形，利用勾股定理求得BED的长度，继而转化。

本题的第(2)问由第(1)问构造全等三角形转化为相似三角形，辅助线仍旧是联结BE。同(1)的思路，仍旧需要利用Rt△ABE，此时问题转化为如何证明∠BAE=90°，还需要证明图中另一组相似三角形进行辅助。

变式问题2

解法分析：本题是典型的旋转相似型模型。利用图b探索线段OM和BD'之间的数量关系和位置关系。和前面两个问题不同，图中没有现成的相似三角形和全等三角形，因此需要构造。

猜想线段OM和BD'间的位置关系是垂直的，因此需要证明∠OBD'和∠AOM是相等的，因此需要构造与△BOD'相似的三角形。由于M为AO中点，因此通过作AO的中点，构造中位线，继而构造相似三角形，从而求得位置关系和数量关系。

综合问题应用

由于旋转运动的特殊性，因此旋转相似模型往往同“隐圆模型”相结合，即发现动点的轨迹是“到定点的距离等于定长”，从而发现隐圆，解决问题

综合问题1

解法分析：本题是典型的旋转相似型模型。本题的第(1)和第(2)小问是基本问题的延续，此处不再赘述具体解法。

本题的第(3)问涉及到求线段的最值问题。根据三角形两边之和大于第三边，可知线段EP1的长度范围是由BP1和BE确定的，而BE是定值，因此最后的范围取决于BP1即BP的大小。而点P在以B为圆心，BP为半径的圆上，尽管这个圆是动圆，但是可以确定BP的最大值和最小值。当BP⊥AC时，此时BP有最小值，即EP1取得最小值；当BP与BC重合时，此时BP有最大值，即EP1取得最大值。

取得最值的图示：

综合问题2

解法分析：本题是典型的旋转相似型模型。通过联结EM、EN、CN构造全等三角形，EN=CN，因此只需要求CN的最大值和最小值即可。同上题，CN的最值是由CD和DN确定的。而CD和DN的长度都是定值，点N在以点D为圆心，DN为半径的圆上。当C、D、N三点共线时，出现最大值和最小值。

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