实现深度学习的路径之一——从具象到抽象

具象思维方式是指具体而形象的思维方式，也就是当面对一个事物时，所能想到的是具体的东西，也可以说是联想到的相关事物。而抽象思维，也可以称之为逻辑思维，是与具象思维相对立的概念，是把一个事物的特性从它本身剥离出来形成概念，然后再进行判断、推理和论证的思维过程。如下面的例子：

这是一道一年级的数学题，多数学生凭借生活经验，菠萝的个头最大当然最重，桃子的个头最小当然最轻，便很轻松的完成了这样一道题，这便是依据直观形象的图形与生活经验解决问题，即具象思维的方法。

其实物体重量的大小关系，其本质也是数量的大小关系。再结合学生对数字的大小十分熟悉，如果把这些水果的重量用数字来表示，会怎样呢？如果1个桃子重量用“1”表示，那么梨的重量就可以表示为“2”，则菠萝可以表示为多少呢？学生很快给出数字“3”，也有给出更大的数字，因为菠萝比梨重的多。根据3>2>1，所以菠萝最重、桃子最轻。

把学生引导到用数字符号去表示物体重量的大小关系，把重量关系抽象成数量关系，这便是抽象思维的思考方式，顺利实现了对物体重量关系的深度认识。

再如：a、b是两个非零自然数，已知a˃b，且a=5b。那么a和b的最大公因数是（  ），最小公倍数是（  ）。

多数学生是利用假设法进行解答：假设a用10代表，b用2来代表，10和2的最小公倍数是10，最大公因数是2，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。这也是非常好的一种方法，但缺少对问题的深度认识，也就很难形成抽象思维的能力。

借助实例积累经验：

10和2的最小公倍数是（   ），最大公因数是（   ）。

24和12的最小公倍数是（   ），最大公因数是（   ）。

36和9的最小公倍数是（   ），最大公因数是（   ）。

……

上面各题中的两个数具有怎样的数量关系？最小公倍数为什么是较大数？最大公因数为什么是较小数？通过寻找它们的因数与倍数后，就会发现较大数的因数中是包含较小数的，因此这两个数的最大公因数必然是较小数；而较小数的倍数中又包含较大数，所以这两个数的最小公倍数一定是较大数。

借助归纳进行抽象概括：

你能把上面的规律用字母表示出来吗？如果a表示一个非零自然数，那么5a和a的最小公倍数是多少？最大公因数是多少？学生根据上面对具体数对的分析，便能很快得出：5a的因数中必然包含a，所以5a和a的最大公因数就是a；a的倍数中也必然包含5a，5a和a的最小公倍数是5a。

经历上面的操作探索后，对求具有倍数关系的两个数的最小公倍数和最大公因数，有什么新的发现？这时学生自然就会总结出一般性的结论：成倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。再利用这个规律解决上面的问题就水到渠成：a的因数中包含b，b的倍数中包含a，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。

在本例中，首先借助学生熟悉的具体数对去求最小公倍数和最大公因数初步体会规律，再借助成倍数关系的数对用字母代数式初步抽象规律，其实也是对前面具体规律的概括过程。最后，运用规律解决具有一般性的题目，不但实现了规律正确性的验证，而且达成了从一般性的角度去抽象规律的目的，从而实现了对求具有倍数关系的两个数的最小公倍数和最大公因数问题的深度认知。