数学‖无穷极限

基本原理：

定义：当函数f(x)在某点x=a处的极限为无限大时，我们称f(x)在点a处趋向于无穷大。

性质：无穷大与无穷小互为倒数，即lim f(x)/g(x) = 1，其中f(x)与g(x)分别为无穷大和无穷小。

考试例题及参考答案：

单选题：下列函数中，当x→0时，哪个函数的无穷小量阶数最高？ A. sin(1/x) B. x² C. e^(1/x) D. ln(1+x)

答案：C

解析：当x→0时，A选项为有界函数，B选项为2阶无穷小，C选项为1阶无穷小，D选项为1阶无穷小。因此，C选项的无穷小量阶数最高。

多选题：以下哪些函数的极限存在且为无穷大？ A. y=x，x→+∞ B. y=sin(1/x)，x→0⁺ C. y=e^(1/x)，x→0⁺ D. y=ln(1+x)，x→0⁺ E. y=x²，x→-∞

答案：ABE

解析：对于A选项，当x→+∞时，y=x的极限为+∞；对于B选项，当x→0⁺时，y=sin(1/x)的极限为0；对于E选项，当x→-∞时，y=x²的极限为+∞。因此，ABCDE均为正确答案。

判断题：若两个函数均为无穷大量，则它们的商也一定是无穷大量。 答案：错误

解析：两个函数均为无穷大量时，它们的商可能是有限数或无界但不是无穷大量。例如：当x→0⁺时，y=x和y=x²均趋向于+∞，但y=x/x²=1/x²趋向于0。因此该说法错误。

简述题：请简述无穷小量的概念及其性质。 答案：无穷小量是指当自变量趋向某一特定值时，函数值趋向于0的函数。例如：当x→0⁺时，sin(1/x)和e^(1/x)均趋向于0。其性质包括以下三点： (1) 无穷小量与无穷大量的乘积为0； (2) 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量； (3) 无穷小量的阶数越高，其趋近于0的速度越快。