走进美妙的数学世界

作者:   阅读: 563   时间: 2010-5-5 19:39:10  

    从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系．

    走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；

    走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；

    走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；

    走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．

诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”

例题

【例1】  (1)我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×10³+6×10²+3×10＋9，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，……9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101＝1× 2²+0× 2¹+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数             ．(浙江省金华市中考题)

(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……．重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝            ，我们称之为数字“黑洞”． (青岛市中考题)

    思路点拨  (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律．

    【例2】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时．统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是(    )．  (第18后江苏茁竞赛题)

    A．C队    B．D队    C．L，队    D．F队

      思路点拨  用算术或代数方法解，易陷入困境．用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观．

【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形(如图①．后来，又用它们分别拼出了X、Y、Z等字母模型(如图②，图③，图④)，如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与：

 (1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去；

 (2)图③中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号，

(3)在图④中，请你适当画线，找出7块塑料板，并填上标号．

(2002年烟台市中考题)

    思路点拨  动手实验、操作．从对图形分割人手．

   链接 数与形，以及数和形的关联与转化，

这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数

与形的恰当结合，常有助于问题的解决．

  

 

【例4】 根据图①和图②回答问题：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业?

(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技

术产业工业总产值比1997年增长率是多少?

(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业?

(2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题)

    思路点拨  从给定的扇形统计图表中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】  一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由． (重庆市竞赛题)

思路点拨  设所求的四位数为

，由题意可得关于

、

、

、

的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出

、

、

、

的值．

  注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法．运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标．

链接

    阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径．现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、

数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力．

读数学书，要边读书边思考．对于概念，要抓住关键词句推敲，从概念间的相互联系中去掌握概念；对于公式、法则、性质等，要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用的范围；对于例题，要自己先动手做一做，再与书上的解答对照，找出知识上的缺陷、错误，并从中总结适用知识的规律．   

 

 

 

学力训练

  1．观察下列顺序排列的等式：

9×0十1＝1，9×1+2=11， 9×2+3＝21， 9×3+4＝31， 9× 4+5=4l，

猜想：第年n个等式应为                   ．    (2003年北京市中考题)

2．如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20

(即n=20)时，需要的火柴棍总数为               根． (河北省中考题)

 

 

 

 

 

3．世界杯中，中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在C组。赛前，50名球迷就C组哪支球队将以小组第二名进入十六强进仃猜测，统计结果则图，认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比为             ．( “希望杯”邀请赛试题)                                                                                                                                                      

4．自然数

、

、

、

、e都大于1，其乘积

，则其和

的最大值为       ，最小值为       ．

5．若一个正整数

被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为l，则

的最小值是    ，

的一般表达式为为       ．

6．3个质数

、

、

满足

，且

，那么

等于(    )．

  A．2    B．3    C 7    D．13                            (第18后江苏省竞赛题)

7．如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，l，2，3，4，3，2，…的规律报数，那么第2003名学生所报的数是(    )．

A．  1    B．2    C．3    D．4

8．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直

  角三角形的两条直角边不相等)，把两个三角形相等的边靠在

  一起(两张纸片不重叠)，可以拼出若干种图形，其中，形状不同

  的四边形有(    )．

A．3种    B．4种    C．5种    D．6种

9．下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是(    )．

10．设“●”、“▲”、“曰”表示三种不同的物体，用天平比较

    它们质量的大小，两次情况如图所示，那么●、▲、■这

三种物体按质量从大到小的顺序排列应为(    )．

A．■、●、▲      B．■、▲、●、

C．▲、●、■      D．▲、■、●

(江西省中考题)

                                                                     │

  11．用一个两位数去除2003，余数是8，这样的两位数有        个，其中最大的两位数是         ．

  12．如果

是任意2个不等于零的数，定义运算※如下(其余符号意义如常)：

※

=

，那么[1※（2※3）] 一[（1※2）※3]的值是         ．

13．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为

的矩形分成两个面积为

的矩形，再把面积为

的矩形等分成两个面积为

的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算：

         ．

    (南宁市中考题)

14．观察下图，三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱……由此可推测n棱柱有(n+2)个面       个顶点            条棱．

 

 

 

 

 

 

 

15．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份(    )．

    A．增加10％    B．减少10％    C．不增不减    D．减少1％

    (河南省中考题)

16．三进位制数201可用十进位制数表示为2×3²+0×3¹+1＝2×9+0+1＝19；

    二进位制数1011可用十进位制数表示为1×2³+0×2²+1×2+1＝8+0+2+1=11．现有三进位制数

=221，二进位制数＝10111，则

与

的大小关系为(    )．

    A．

>

    B．

=

   C．a<b    n不能确定         (重庆市竞赛题)

17．某学生骑白行车上学，开始以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟．为了按时到校，他加快了速度，但仍然保持匀速行进，结果准时到校．他骑自行车行进的路程s与行进的时间t的关系有如下四种示意图，其中正确的是(    )．

 

 

 

18．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体， 然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为 (    )．

A．  21    B．  24    C．  33    D．  37

19．如图，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同

    的四块，种不同的花草．下面左边的两个图案是设计示例，请

你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案．

 

20．根据图a和图b回答问题：

 (1)1998年我国国内生产总值比1995年大约增加了多少?

(2)1998年我国财政支出规模(财政支出／国内生产总值)大约是多少?

(3)已知1999年国内生产总值为8．5万亿元，在这几年中国内生产总值增长最快的是哪一年度?

(中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题)

 

21．有一批影碟机(VCD>原售价：800元，，台．甲商场用如下办法促销：

购买台数	1～5台	6—10台	11—15台	16～20台	20台以上
每台价格	760元	720元	680元	640元	600元

乙商场用如下办法促销：每次购买1～8台，每台打九折；每次购买9～16台，每台打八五折；每次购买17～24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折；

 (1)请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；

(2)现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C 单位要买20台VCD．问他们到哪家商场购买花费较少?   (第14届“希望杯”邀请赛试题)

  22．如图是一张“3× 5”(表示边长分别为3和5)的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．

    (1)能否分成5张满足上述条件的纸片?

    (2)能否分成6张满足上述条件的纸片?

若能分，用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．(江苏省竞赛题)

 

 

参考答案