关注问题表征
《小学数学教师》编辑部
在一次教学研讨活动上，我“遇上”了蔡老师的“倒推”一课。活动的前两天，我在主会场第一排听了8堂课，最后一天，我溜到了分会场。蔡老师在主会场上课时，我正在分会场最后一排，边看大屏幕，边和几位老师“聊课”——起初，对这堂课并没有太在意。当蔡老师做起了游戏，我的注意力被吸引了；当看到蔡老师双手互抱在学生间缓步徐行，微笑着等待学生以自己的方式摘录条件时，我心里说：“就是这堂课了！”——这堂课何以引起我的共鸣？在笔者看来，蔡老师捉住了“倒推”教学中一直被教师们忽略的一个关键。
一、“倒推”教什么？
“倒过来推想”（简称“倒推”）是苏教版《数学》五年级下册第九单元“解决问题的策略”的内容。“倒推”策略的教学素材是这样一类问题：已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态（苏教版配套教师用书）。对于这类问题，从计算的要求看，100以内的加减乘除就基本足够了，学生真正的困难在于“追溯”，在于怎样表征这一类问题。而很多老师的教学，恰如蔡老师所言，关注了解题而忽视了策略。当然，“离开了解题，解题的策略就无从谈起”，让学生以“倒推”的策略去解题不是在运用策略吗？俗话说“熟能生巧”，怎么会是“忽视了策略”？
笔者以为，当学生能够主动辨析问题的特点，从多种方法中灵活、快速地筛选出合适的方法来解决问题时，我们才能说学生具有了策略意识。而在各种策略分单元编排的时候，“辨析问题、选择策略”的过程常常是被省略的，所以教学中会出现这种现象：教画图的策略时，学生都知道用画图来解决问题；但在没有任何提示的情况下，面对一个典型的、可以画图解决的问题，学生却想不到画图。我们读“曹冲称象”的故事，感叹曹冲的聪明，那是因为曹冲在没有提示的情况下，想到了转化的策略。如果有人提示，我们还会觉得曹冲聪明吗？至少得打个折扣！同样，在教“倒推”策略的时候，如果延续一贯的注重解题的教学方式，能“熟”却不能“巧”，学生会解题却未必有思维品质和策略意识的提升。怎样判断自己的课是否过于注重解题呢？教师至少可以追问自己：我这样教策略，和“问题解决”的课有什么区别？
策略意识的获得要依赖能体现策略特点和价值的方法的使用，“在方法的使用中领悟策略”，这一点应该是大家都能认同的。实际上，策略和方法有时就是一体两面的，比如画图、列表、方程等。那么，如果我们把“倒推”定位为策略，其对应的方法是什么？是列表法（教材例1），是摘录条件法（教材例2），还是流程图、箭头图？都是，又都不是。与“画图”、“列表”相比，“倒推”这两个字对方法的暗示是不精确的。我们需要将“倒推”两个字加以分解，才能获得体现“倒推策略”特点和价值的、可操作的方法。也就是说，要把描述结果的、静态的“倒推”，还原为动态的、过程化的“倒推”，这一过程包含解题，但不限于解题。其实，“倒推”的策略可以分解成三个可操作的步骤：正着记录——倒着计算——正着验算。[1]
有老师可能会说，“倒推”也有抓手啊！箭头图不就是一个很好的抓手吗？的确，箭头图或者流程图很适合需要用倒推策略来解决的问题。只是，我们要追问，这一方法是体现“倒推”策略唯一的方法吗？当然不是。是体现“倒推策略”最好的方法吗？未必！因为方法的优劣有时视具体的问题而定。但很多老师并不能意识到箭头图的局限，当在教学中把箭头图或流程图作为教学的抓手时，往往又会陷入教具体方法的旧轨道，又把策略教“窄”了。
有心的老师可能会发现，蔡老师的课不也是在教箭头图吗？是的！在教学的主线上，教策略可以，有时甚至是不得不抓一种主要方法，但我们要把握好“抓方法”的力度。蔡老师这堂课的优点就在于，在抓了方法的同时，抓了“表征”，或者说是通过抓“表征”来抓方法。这样教学，学生经历了画流程图的过程，这就是这堂课与其他课的区别。在此，笔者提出一个论断：教“倒推”的策略，至少应该把一半的课堂时间留给学生表征问题，教学的主线应该围绕这一点层层展开。这就是笔者对“倒推”教学的总设想。
为什么要把教学重点放在对问题的表征上？因为，“辨析问题、选择策略”的过程是不应该由教材或教师替代学生进行的，必须让学生自己经历，自己体验和感悟。只有这样，学生才会发现这类问题的特点，并且有能力去表征这类问题。何况，在学生熟悉方程的方法之后，面对知道结果、追溯起始状态的问题，可以不用再“倒过来推想”，那么，今天教的内容对他后续发展的价值何在？信息加工理论的学者认为，有了正确的表征，问题就已经解决了一半。布鲁纳更是直接说：“学习的重点不在于记忆，而在于编码。”表征（编码）的重要性在“倒推”的教学中表现得尤为突出。当学生乐于并有能力表征这些要追溯起始状态的问题时，计算已是水到渠成的事。而且，此时的计算只是学生策略意识提升后的副产品，我们的教学早已超越了对计算结果的关注。而学生获得的用自己的方式表征问题的意识，才是对其后续学习有价值的东西，从某种意义上说，“数学化”乃至整个数学学科不都是在用数学的语言、符号来表征外在的世界吗？
二、“倒推”怎么教？
把“倒推”策略的教学重点放在学生对问题的表征上，这是基于对适合用倒推策略加以解决的问题的判断，也是针对当下策略教学的某些缺陷。在注重“教解题”的教学中，教师们不是不教“表征”，只是这一过程，学生常常没有充分经历，缺乏丰富体验，自然不能超越解题、领悟策略。
怎么让学生经历对问题的表征过程？笔者浅陋，试着列出几个要点。
首先，不要急于告知学生今天学习的是“倒推”的策略，因为此时，学生对适合用倒推策略加以解决的问题的特点缺乏认识，“倒推”只是一个模糊的指示，缺乏对行为的指导意义。所以，当学生接触第一个例题时，教师可以把重点放在对问题进行摘录上。教师可以提出要求，“怎样摘录比较合适、简捷”，“怎样摘录可以让别人一看就明白”。
其次，将箭头图、流程图、文字摘录以及其他可能出现的方法（比如直接列出算式、方程）先等量齐观，不要忙于做出优劣的判断，更不要过早地集中到一种方法上。对学生而言，自己的表征方法，自己懂、自己会用，是“有意义的”，但从简捷、完整、数学化等角度，不同的方法却有高下之分，需要教师进行优化。这种优化可以这样进行：你是怎么摘录的？（呈现学生资源）你能说说自己的方法吗？（关注自己的思维过程）这么多摘录方法你都看得懂吗？（关注别人的思维过程）这些摘录方法有什么区别和联系？（引导学生辨别、比较）你认为怎样摘录比较好？（关注元认知）。这样步步“紧逼”，对学生的思维要求逐步提高，但又始终围绕着摘录（表征）方法的优化。
上述这一环节应该成为此课教学的核心环节，在一堂课中，如果教师要精讲两道或三道例题（不宜超过三道），则可以安排两次或三次优化摘录（表征）方法的“小循环”。第一次学生呈现的方法可能最原生态，数量多、思维水平参差不齐；到第二次、第三次表征问题时，学生的摘录方法会相对统一，比如，集中到流程图、箭头图上。这种集中的趋势和以下几点有关：1.教师选择的例题。如果教师想集中以一种方法为主线，则选同类题，否则，选容易产生表征形式差异的问题。2.学生对“怎样摘录比较好”有了认识。部分学生经过对比，选择了同伴的更好的形式。3.从众心理，或者“依葫芦画瓢”的模仿。4.教师的要求。上述四点中，第二点正是我们教学的追求；第一点则取决于教师的选择，是教师的教学自主权；第三点要注意，教师要在巡视过程中，辨别“从众”和“形式模仿”的学生，让他们说一说为什么放弃了自己原来的摘录方法，追问这样摘录是什么意思等问题；第四点是教师要避免的。
特别要指出，这一环节的教学最考验教师的教学功力。因为这样是“贴”着学生产生的水平层次不同、表现形式各异的教学资源去教，是“贴”着学生的思维和困难去教。而根据笔者课后搜集的素材，即便同样是“箭头图”，也有多种形式，“贴”着教既要兼顾全体，又要关注差异，是对教师课堂驾驭能力的挑战。
第三，从教学素材（例题）的选择上，教师可以注意不同类型题目的呈现。这里的“不同”包含三个层面：1.表征方法的差异，比如，苏教版教材上的例1突出列表整理，例2突出摘录（其实也是流程图），其“练习十六”中有的适合画图（路线问题），有的适合操作（扑克牌换位置）。2.难度水平的差异。在教学核心环节使用的问题要难度适中，使全体学生都能看到解决的希望，能参与到教学活动中来。同时，这一问题又包含丰富的信息和一定的延展性，使问题的表征有进一步优化的需要，能够推动学生思维的发展。蔡老师使用的案例在难度上就比较合适。3. 表征步骤的差异。有的问题有两次变换，有的有三次、四次，教学中要注意让学生先接触变换次数少的，然后变多。在练习巩固的阶段，甚至可以让学生自己去变换，教师规定变换的次数，同桌互相出题，看看谁出的题目好。第二点和第三点是有交叉的，一般变化次数多就难，不过教师也要注意问题的结构，比如，同样是两步的 “赠送画片”的题目，出现“一半还多1张”，难度就上去了。
指出以上三方面是为了教师更有针对性地教学。如果教师对自己应对学生反馈的能力很有自信，或者一贯比较注重让学生记录自己的想法，则可以多选择表征方法有差异的问题；如果班上的学生基础很好，或者前半段的教学很扎实，教师则可以注意使用步骤多、难度大的问题。在一堂课的教学当中，教学素材不一定要尽善尽美，但教师要能意识到不同素材的差异，因为合适的教学素材能让教学事半功倍。
第四，要让学生从关注问题的答案转向始终关注对问题的表征。当学生经历一次“摘录-计算”的过程后，有的学生就不再关注怎么摘录了，尤其是一些基础好的学生，他们甚至能直接列式解答，更不屑于条件摘录。“关注答案的获得和答案的对错，相对忽视解题和思考的过程”这是小学生学习的一个特点。策略的课教成“问题解决”的课，有时错不全在老师，而是师生互动的结果，既然学生喜欢解题、关注答案，加之考试最后还是要落实到解题上，教师乐意顺水推舟。——蔡老师课堂上的时时的回顾，在有的老师看来好像是多余的，实则用心良苦。
那么，怎样让学生关注过程，而非答案？其一是如上文第二点所说的，教师的追问要指向学生思维的过程、摘录方式的比较与辨析。其二是如蔡老师课上的时时回顾，停下来回味而不是一直埋头解题。其三是教师可以呈现一些题目，“把过程表示出来，不用计算”。详细说说第三点。
前文提到，要把一半的时间用在“表征”上，那解题怎么办？相信很多老师会这样“将一军”。练习是需要的，方法的使用也需要练习，但基于这堂课的教学目标，未必要像以往那样练习。在学生经历了摘录方式的第一次优化后，教师可以呈现下一题，“不用计算，你怎样把这个问题摘录清楚”。这是对表征方法的一个巩固练习。对于基础不好的学生，教师可以个别辅导。当中可以让全班学生停下来看看黑板上呈现的不同方式，提醒大家要注意什么，怎样更全面、简捷等。对于基础好的学生，教师可以鼓励“换个方式摘录试试看”。甚至在教第一个问题时，当学生把问题都摘录清楚，列出算式了，教师就可以把计算跳过，“现在计算对大家都不成问题了，我们看下一题”。在这一环节，教师可以准备表征方式有差异的问题，比如“一半多1张”的赠送画片的问题，笔者感觉线段图似乎合适。让学生多尝试表征一些不同类型的题目，教师多呈现不同的表征方式（列表、箭头图、画图），这其实是在“逼迫”学生在感悟更高层面的策略：不管哪种类型的题目，我们弄清楚了，就能解决。此处甚至可以不提“倒推”，因为，当学生遇到题目能主动地摘录条件，并能选择合适的表征形式，“倒推”的方法已经包含其中。这一点可以和概念教学中教“上位概念”的做法作一个类比，读者可以体会其中的相通之处。
第五，专项训练，提升对策略的敏感性。[2]教材分单元（专题）编排的现状，客观上减少了学生在没有提示的情况下自主选择策略的机会，缺乏自主选择的机会，自然缺乏筛选策略的意识。分单元编排的思路为每一类策略提供了数量较多的、与某策略对应的、典型的问题。教师可以把使用不同策略加以解决的问题搜集起来（比如10道题），在课堂上一一呈现，让学生快速判断可以用什么策略来解决，如果不能用倒推，可以用什么策略。这既是对当堂教学内容的强化，也是对其他策略的复习，更是训练学生的筛选意识。对于有的问题所采用的策略，学生可能会出现分歧，比如学生以“画图”的摘录形式解决了一个倒推的问题，其策略是什么？这时，教师要抓住学生的分歧，“他说是画图，你说是倒推，大家认为谁说的对”，让学生进一步对方法和策略的认识精细化（“画图”侧重表征的形式特点，“倒推”侧重问题的逻辑特点）。在判断完所有的题目之后，教师追问，“一般在怎样的情境中，用今天学的策略”。
三、回看蔡老师的课
经过上述的分析，此时再看蔡老师的课，读者就可以明白笔者何以对蔡老师的这堂课一见钟情了。蔡老师的几个关注点与笔者的设想可谓不谋而合：对教学素材的深思熟虑，对问题表征的重点关照，对优化摘录方式的精雕细琢……现场看课的话，您更能感受蔡老师此课的风采，转成文字实录后，蔡老师在课堂上的等待，在教学节奏上的把握就较难体现了。文字实录只是课堂教学的“标本”，我们不得不面对这小小的缺憾。
在蔡老师教学的后半程，我询问了身边的几个老师，这样教学怎么样？几位老师一致认为，蔡老师的教学对教师的要求更高，“不太好学”。的确，在“倒推”一课的教学上，一题接一题地教学（也考虑思维的递进）要更容易。而教师有意识地后退，把舞台让给学生，展示学生的思考；把时间留给学生，等待学生自己感悟，这样的教学难！这种“难”不仅仅体现在教学技艺的层面，更难在教学理念的突破。我们的老师似乎越来越喜欢教了！——教学是放手的艺术，而放手是需要勇气和底气的！显然，蔡老师有这样的勇气和底气，所以当笔者看着蔡老师在学生间缓步徐行，双手互抱、面带微笑时，我觉得此时的蔡老师特别有魅力！
由蔡老师的这堂课，笔者更联想到把不同策略的教学“打通”，比如“画图”策略的教学，何尝不是需要我们关注问题的表征？何尝不可以把教学重点放在学生优化画图的方法上？何尝不可以让学生辨析、比较不同的画图方法，经历画图的过程？何尝不可以让学生快速判断相关题目分别用什么策略？何尝不可以把体验和感悟的时空，留给学生？——其他内容的教学呢？何尝不可以……
当然，蔡老师的课也并非完美无缺，在此指出一二无损此课对一线教师的引领与借鉴意义。其一，箭头图可以更晚一些呈现，允许学生用自己独特的方法继续摘录一些问题，把“优化”的过程再放缓一些。尤其是反向箭头的出现，可以和“倒着计算”的要点沟通，应该让学生经历一番。其二，在让学生关注变化“过程”的环节，可以给出可操作的、有数学特色的抓手：验算。“注意过程”这样的强调，对学生而言就像“解题要细心”一样，不易操作，所以忽略过程的学生照样忽略过程。因此，如果在这个环节教师追问“怎样判断自己是否正确”，让学生自己把答案代入题目算一算，教师再画龙点睛地板书“验算”就更好了。这样教学，“倒过来推想”在经过正着记录、倒着计算的辩证过程之后，又要将答案代入题目正着验算，整堂课就有了“正-反-合”的逻辑意味，更令人回味！
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