知识导引
概念辨析
概念辨析,正确与否仅在几字而已,然而通过辨析,培养的是学生严密的数学逻辑与全面考虑问题的能力
第一组
1、经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行(×)
2、经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直(√)
解析
平行线的基本性质是:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。强调“直线外”的原因在于,如果该点在直线上,那么过该点的直线只可能和原直线相交,不可能平行。而垂直则不存在类似问题。
第二组
3、一个角的两边与另一个角的两边对应平行,则这两个角相等(×)
4、一个角的两边与另一个角的两边对应垂直,则这两个角相等(×)
5、有一条公共边且和为180度的两个角是邻补角(×)
解析
第3题,图组(1)中∠2、∠3与∠1的两边对应平行,其中∠2与∠1相等,而∠3与∠1互补;
第4题,图组(2)中∠2、∠4与∠5的两边对应垂直,其中∠4与∠1相等,而∠5与∠1互补;
第5题,图组(3)中∠6、∠7与∠1有一条公共边且和为180度,但显然只有∠6是∠1的邻补角。所以可见邻补角定义中,强调“有一条公共边,另一组边互为反向延长线”是很有必要的。
第三组
6、与同一直线垂直的两直线平行(×)
7、与同一直线平行的两直线平行(√)
解析
平行具有传递性,而垂直没有,例如:如图,在长方体ABCD-EFGH中,棱EF、棱FG与棱FB垂直,但棱EF、棱FG的位置关系则是相交。
因此,准确的说法是:在同一平面内,与同一直线平行的两直线平行。
三线八角
概念
在复杂的图形中,点“三线八角”个数是学生难点,原因在于学生不得法。而通过“点”培养学生有序思考问题的能力,培养学生透过现象把握问题本质才是这类问题的真正意义所在!
例1
两两相交的三条直线共有几对同位角、内错角和同旁内角?
解析
① 若三条直线交于同一点,
则无同位角、内错角、同旁内角;
② 若三条直线不交于同一点,如下图
我们知道,三线八角有四对同位角、两对内错角、两对同旁内角,于是本例可以转化三组“三线八角”问题,即共有12对同位角、6对内错角、6对同旁内角
渗透:分类讨论、转化的数学思想
例2
图中所标注数字的角中,同位角有______对,内错角有______对,同旁内角有______对
解析
同位角:
图形上部∠1与∠8,∠2与∠9;
图形下部 无
内错角:
上下看 ∠2与∠4,∠8与∠6
左右看 ∠3与∠5,∠5与∠7
同旁内角:
从局部看 找封闭三角形,每个封闭三角形有3组同旁内角,共有3个,故有9对同旁内角
从全局看 ∠1与∠9,共10对
渗透:序化考虑问题的思想
折线问题
例3
解法一
解法二
解析
折线问题辅助线添加策略:
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