五招助解非特殊角的三角求值

      求解非特殊角的三角函数值是一类常见题型，这类问题一般不能直接运用三角函数表运算求出近似值，因此需要根据题设特点灵活采用相应的策略，现举例如下.

    一、逆用公式

    例1  计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的值等于（　　）.

   （A）-

       （B）

       （C）

     （D）

    分析：观察所求代数式，我们可以先将cos107°变为cos（90°+17°）后，再逆用两角差的正弦公式计算求解.

解： 原式= sin47°cos17° + cos47°cos（90°+17°）= sin47°cos17°+cos47°（-sin17°）= sin（47°-17°）= sin30° = 

，故选D．

点评：两角和与差的三角公式不仅可以正向应用，也可以逆向应用. 本题巧妙地逆用了公式，从而简化解题.

二、变用公式

    例2 计算（1+tan21°）（1+tan24°）的值是　   　．

    分析：先根据正切变形公式得出tan21°+tan24°与tan21°tan24°的关系，然后将原式化简求解.

     解：因为tan

+ tan

= tan（

+

）·（1﹣tan

tan

），

所以tan21° + tan24° = tan（21°+24°）（1﹣tan21°tan24°）= tan45°（1﹣tan21°tan24°）= 1﹣tan21°tan24°，

所以（1+ tan21°）（1 + tan24°）=（1 + tan24°+ tan21°+ tan24°tan21°）=（1 + 1﹣tan24°tan21°+tan24°tan21°）= 2．

故答案填2.

点评：由两角和差的正切公式tan（

）= 

去分母，得到变形公式tan

± tan

=tan（

）·（1

tan

tan

）. 当

±

为特殊角或与某角有特殊关系时，运用这个公式较为方便.

三、合理拆角

    例3  计算

等于（    ）.

   （A）-

        （B）

        （C）

        （D）1

分析：通过对上式各个角度的观察，不难发现分式中出现的三个角之间存在着一定的关系，在解题过程中可以利用这一关系进行拆角来减少角的个数.

解：原式=

=

=

= cos60°=

，

故选C.

点评：观察是前提，交换是关键，通过全面的观察和透彻的分析，可避免盲目的推演.本题的解法中就是抓住了85° = 60° + 25°这一等角的变换进行拆分运算.   

四、适当通分

    例4计算

 - 

的值是（　　）.

   （A）1       （B）2       （C）4      （D）

    

    分析：由于sin80°可转化为cos10°，那么

 - 

的分母中就含有sin10°和cos10°，故可通分利用公式求解.

解： 

 - 

 = 

 - 

=

  

     

 = 4，

     故选C.

     点评：有关两个分数和或差的特殊三角函数运算，常常先通分再根据公式计算求解.

      五、整体策略

    例5  已知cos

=

，cos（

）=﹣

，且α∈（0，

），α + β∈（

，

），则cos

的值为　    　．

分析：由题意分别可求得sin

和sin（

+

）的值，而cos

= cos[（

+

）﹣

] = cos（

+

）cos

 + sin（

+

）sin

，通过整体代入计算即可．

   解：因为cos

= 

，且α∈（0，

），所以sin

=

=

.

又因为cos（

+

）=﹣

，且α + β∈（

，

），所以sin（

+

）=

=

.

    所以cos

= cos[（

+

）﹣

] = cos（

+

）cos

+ sin（

+

）sin

= -

 × 

 + 

 × 

 = 

. 故答案填

.

    点评：本题若根据cos

，cos（

+

）的值，将cos（

）展开求解cos

的值会很难入手，而借助于角之间的关系整体求解大大降低了解题难度. 

本文来自《数学周报》高考版理科第6期

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