有这样一个神奇的函数，它是除了函数f(x)=0以外，唯一一个导函数等于原函数的函数，这个函数就是以自然常数e为底的指数函数：f(x)=e^x
今天我们就来探讨一下为什么函数f(x)=e^x的导函数等于原函数：
f′(x)=(e^x)′=e^x=f(x)
关于这个结论的证明，我查阅了很多资料，结果惊讶地发现除了需要付费的专业性教材以外，全网居然没有一篇文章能够真正地讲清楚。绝大多数文章给出的证明是这样的：
求证：(e^x)′=e^x
证明：根据求导函数的定义：对于函数y=f(x)
y′=f′(x)=lim(△y/△x)
=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]，△x→0
y=f(x)=e^x
f′(x)=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]
=lim[e^(x+△x)-e^x]/△x
=lim[(e^x)×(e^△x)-e^x]/△x
=lim[e^x×(e^△x-1)]/△x
=(e^x)×lim[(e^△x-1)]/△x，△x→0
因为(e^△x-1)是△x的等价无穷小
记作：(e^△x-1)~△x
所谓等价无穷小就是指：
lim[(e^△x-1)/△x]=1，△x→0
f′(x)=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]
=(e^x)×1=e^x，△x→0
(e^x)′=e^x
证毕!
这个证明看上去没有任何问题，但其中最关键的一步(e^△x-1)~△x并没有解释清楚。
为什么(e^△x-1)就是△x的等价无穷小呢？
这篇文章并没有作出进一步解释，只是当作一个固定结论直接引用。但另一篇文章解释了为什么(e^△x-1)就是△x的等价无穷小？
求证：lim[(e^x-1)/x]=1，x→0
证明：根据泰勒展开式
f(x)=e^x=f(x0)/0!+[f(x0)/1!]×(x-x0)+[f(x0)/2!]×[(x-x0)^2]+……+[f(x0)/n!]×[(x-x0)^n]+……
取x0=0，f(x0)=f(0)=e^0=1，x-x0=x-0=x
f(x)=e^x=1/0!+(1/1!)×x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……
=1+x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……
e^x-1=x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……
(e^x-1)/x=1+(1/2!)×(x)+……+(1/n!)×[x^(n-1)]+……
lim[(e^x-1)/x]
=lim{1+(1/2!)×(x)+……+(1/n!)×[x^(n-1)]+……}
=1+(1/2!)×0+……+(1/n!)×0+……=1，x→0
lim[(e^x-1)/x]=1，x→0
证毕！
这个证明看上去仍然没有什么问题，但仔细一想你就会发现其中的逻辑漏洞。在利用泰勒展开式时，是需要对原函数求n阶导数的。
之所以函数(e^x)能够展开成以上形式，其根本原因就在于(e^x)的导函数还是等于原函数(e^x)，所以(e^x)的n阶导数依然等于原函数(e^x)，即：f(n)(x)=f(x)。
我们一开始利用了(e^x-1)~x证明了(e^x)′=e^x，然后又利用了(e^x)′=e^x证明了(e^x-1)~x，这就是典型的循环论证！
更有简单粗暴的文章直接用洛必达法则进行证明。
求证：lim[(e^x-1)/x]=1，x→0
证明：根据洛必达法则
lim[(e^x-1)/x]=lim[(e^x-1)′/(x)′]=lim{[(e^x)′-(1)′]/1}
=lim[(e^x)-0]=lim(e^x)=e^0=1，x→0
lim[(e^x-1)/x]=1，x→0
证毕！
很显然，这里在运用洛必达法则进行证明的过程中我们同样用到了(e^x)′=e^x这个结论，这又再次陷入到了无限循环之中。
那么我们应该如何证明(e^x)′=e^x呢？要想严格证明这个结论，必然要运用到自然常数“e”的定义，我们是这样定义“e”的：
可以证明数列{an}={(1+1/n)^n}，n→∞，必存在极限，我们将这个极限值叫做自然常数，用字母“e”表示
e=lim(an)=lim[(1+1/n)^n]，n→∞
类似地，还可以通过函数求极限来定义“e”
e=lim[f(x)]=lim[(1+1/x)^x]，x→∞
令y=1/x，则1/y=x
当x→∞时，显然有(1/x)→0，即y→0，所以有
e=lim[(1+1/x)^x]=lim[(1+y)^(1/y)]，y→0
再把y换成x，一般习惯表示为：
e=lim[(1+x)^(1/x)]，x→0
最后，我们用“e”的定义来进行证明：
求证：(e^x)′=e^x
证明：根据求导函数的定义，前面我们已经证明了
y=f(x)=e^x
f′(x)=lim[f(x+△x)-f(x)/△x)]
=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]，△x→0
令t=e^△x-1，e^△x=1+t
当△x→0，t=e^△x-1→e^0-1=1-1=0
△x=log(e，1+t)=ln(1+t)
(e^△x-1)/△x=t/ln(1+t)
=1/[(1/t)×ln(1+t)]=1/ln[(1+t)^(1/t)]
根据e的定义
lim[(1+t)^(1/t)]=e，t→0
f′(x)=(e^x)×lim[(e^△x-1)/△x]，△x→0
=(e^x)×lim{1/ln[(1+t)^(1/t)]}，t→0
=(e^x)×<1/ln{lim[(1+t)^(1/t)]}>，t→0
=(e^x)×[1/ln(e)]
=(e^x)×(1/1)
=e^x
(e^x)′=e^x
证毕!
回顾整个推理思路，正确的逻辑顺序应该是这样的：
①我们首先定义了数列{an}={(1+1/n)^n}，n→∞的极限为e；
②然后利用这个定义和求导函数的定义证明了(e^x)′=e^x；
③最后利用这个导数的结果和泰勒展开式或洛必达法则证明了(e^x-1)~x。
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