巧解行程问题

一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米？
A.72   B.60   C.55   D.48
解析：在这个题目中出现了“前4小时比后4小时多行30千米”，把4个小时的路程作为了一个标准路程，那么应该怎样理解呢这句话呢？首先我们来看一下前4个小时走过的路程和后4个小时走过的路程都代表了什么。画路程图如下，BC=CD。
    众所周知，船在顺水中的速度一定大于在逆水中的速度，那么在整个行程的8个小时中，前4个小时一定是该船顺水到达乙港后，又逆水走了一段路程所用的时间，即前4个小时走过了AB+BC，后4个小时就只是逆水到达甲港所用的时间，即后4个小时走过了CA。现在将两段路程相减，AB+BC－CA=AB－DA=30公里。此时大家可以想象一下，AB为顺水走过的路程，DA呢？是否等于在相同时间内逆水走过的路程？当然答案是肯定的。由AB－CD=30，我们就可以求出顺水行驶过AB的时间为30÷12=2.5小时，那么逆水行驶了8－2.5=5.5小时。又AB－DA=BD=30公里，那么逆水的速度也可以求得，30÷（8－2.5－2.5）=10公里，则甲、乙两港相距10×5.5=55公里，此题选择C。
希望通过这道例题，可以让大家了解到“在相同时间内走过的路程”在行程问题中的重要性。并能找到适当的切入点，灵活运用这种关系，横扫行程问题。
例1  商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A．80级    B．100级    C．120级    D．140级          （2005年中央真题）
解析；这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5   也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100
所以，答案为B。
例2  甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面：
A．85米    B．90米    C．100米    D．105米          （2005年中央真题）
解析：此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。依据行程问题的公式，在时间相同的情况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以当乙跑了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正确答案为C。
例3  某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：
A．2.5：1    B．3：1    C．3.5：1    D．4：1           （2005年中央真题）
解析：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
将V约掉，解得K=3
所以，正确答案为B。
例4  姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?
  A．600米    B．800米    C．1200米    D．1600米        （2003年中央A类）
解析：此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。
首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追击距离=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分种即可追上弟弟，在这4种内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正确答案为A。
例5  某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
    A．5倍    B．6倍    C．7倍    D．8倍                 （2003年中央B类）
解析， 如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程
5/4A=1/4AX  
解得 X=5
所以，正确答案为A。
例6  一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里，问每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶多少公里?
    A．16    B．21    C．22    D．27                      （2003年中央B类）
解析：基本路程问题，采用方程法，设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶X公里，则可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正确答案为C。
注：此题亦可用速度差和路程差的关系来求解，速度将更快，详解过程本书略。
例7  甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
    A．166米    B．176米    C．224米    D．234米       （2000年中央真题）
解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6   （速度差0.1米/秒=6米/分）
从而解得 X=78   Y=72
由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。
例8  列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。
    解析：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10+15）×14＝350（米）。又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。
    解：（10+15）×14
    ＝350（米）
    最后得，乙车的车长为350米。
例9 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时。在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?  
解析：设乙的速度为X，则甲的速度为2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时。
例10 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车比另一列长150米。时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?
    解析：首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止。因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。
设某列火车的车长为X，则根据速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火车的速度为20米/秒      72公里/时=20米/秒
错车时间为（250+150）÷（20+20）=10
所以，错车时间为10秒。