书名
数学通识50讲
作者
吴军
状态
已完成
简介
虽然讲的是数学，但是道理是相通的，对提升咱们工作的效果和效率会有所启发。
特别是这两讲：
07 | 数学应用:华罗庚化繁为简的神来之笔
11 | 鸡兔同笼:方程这个工具为什么很强大?
思维导图
读后感
01 | 导论：数学通识课的体系和学习攻略
毕达哥拉斯是将数学从经验上升到系统性学科的第一人。
02｜勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理？
勾股是“勾三股四弦五”，只代表了一组勾股数，并不是定理。
数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立在逻辑基础之上的。
03｜数学的预见性：如何用推理走出认知盲区？
因此，要么是数学错了，要么是认知错了。勾股定理的证明是通过严格的逻辑推导出来的，也不会有错，于是只能是我们的认知错了。
物理学不会不存在，只是我们的认知不够（《三体》）
04｜数学思维：数学家如何从逻辑出发想问题？
05｜数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理
是否有三个整数 a，b，c，使得，a^3+b^3=c^3？除了平方的情况，其他更高次方的方程都找不到整数解，它被称为费马大定理（或者费马最后定理）。
怀尔斯从 10 岁开始就立志解决这个问题，他努力了 30 年。他最后的证明长达 200 页。
比如任意一个多项式方程 2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，请问它们有没有整数解？这个问题就是著名的希尔伯特第十问题（简称第十问题）。1970 年，俄罗斯天才的数学家尤里·马季亚谢维奇在大学毕业后一年就解决了这个问题，证明了这类问题无解。
06｜黄金分割：毕达哥拉斯如何连接数学和美学？
毕达哥拉斯和他的学派对音乐和美学的影响一直影响到柏拉图和亚里士多德，以及后来诸多文艺复兴的学者。
07 | 数学应用:华罗庚化繁为简的神来之笔
华罗庚先生发明优选法，使用黄金分割数去寻找最优解。但是最大的贡献不是优选法本身，而是使用最简单的方法去解决实际问题，即化繁为简，这远比“专家”封装的高大上理论更伟大。
放到生活中，我们也许应该放下一些虚伪，做真实可靠的人；放到工作中，我们的目的是做出让客户满意的产品，而不是只有自己满意的产品。
于此同时，黄金分割数其实可以更广泛地应用于生活，可以有一定的盲从。比如拍照，可以把人或突出的事物放到黄金分割点的位置。
08｜数列和级数（一）：当下很重要，但趋势更重要
斐波那契数列Rn+1/Rn这个比值，很快趋近于 1.618 了，这恰好是黄金分割的比例。这个结论说明，数学的各个知识点，可能存在某种天然的联系，这似乎是数学这套系统本身浑然天成的结果，因此很多人讲这其实就是数学之美的体现。
斐波那契数列又称黄金分割数列。
09｜数列和级数（二）：传销骗局的数学原理
10｜数列和级数（三）：藏在利息和月供里的秘密
11 | 鸡兔同笼:方程这个工具为什么很强大?
老师、家长总是告诉我们，数学考高分需要实行题海战术，然而我们长大后其实都会忘掉，基本白学。这种教育方式是需要改革的。
中国古代对于很多鸡兔同笼问题都有解，但是都是针对具体的问题，每个问题都有一种解法，这样产生的后果就是每次遇到类似或变体问题就无法适用。使用通用的方程作为工具，能够让所有类似问题都能很快解出。
12｜三次方程：数学史上著名的发明权之争
13｜虚数：虚构这个工具有什么用？
今天，衡量一个人认知水平的一个方法，就是看他接受虚拟概念的能力有多强， 如果他只停留在看得见摸得着的东西，这个人的水平就不是很高。我们经常说那些只知道买房置地，收藏奢侈品的人是土财主，其实也是这个道理。
14｜无穷：我们为什么难以理解无限的世界？
无穷大的概念，关键要理解它是动态变化到了最终尽头的描述。事实上，无穷大代表着一种新的科学世界观，就是让我们关注动态变化的趋势，特别是发展变化延伸到远方之后的情况。
15｜无穷小（一）：如何说服“杠精”芝诺？
悖论一（二分法悖论）：从 A 点到 B 点是不可能的。
芝诺讲，要想从 A 到 B，先要经过它们的中点，我假设是 C 点，而要想到达 C 点，则要经过 A 和 C 的中点，假设是 D 点……这样的中点有无穷多个，找不到最后一个。因此从 A 点出发的第一步其实都迈不出去。
悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。
阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿，但是芝诺讲如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，阿喀琉斯就永远追不上了。为了方便起见，我们简单地假设阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的 10 倍。如果乌龟先跑出 10 米。等阿喀琉斯追上了这 10 米，乌龟又跑出 1 米，等阿喀琉斯追上这 1 米，乌龟又跑出 0.1 米……总之阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却追不上。
悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。
在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。而时间则是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。这个悖论，可能就比前两个难辩驳了。
悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。
如果有两匹马分别以相同的速度往两个方向远离我们而去，我们站在原地不动。在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。但是如果两匹马上有人，那么在彼此看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，彼此的距离应该是很多两倍的Δ相加。那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0 乘以任何数还是 0，那么 1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？其实芝诺的错误就是把无穷小直接当做了 0。
当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。比如说，到底是地球围绕太阳转，还是太阳围绕地球转？在这件事上，我们的经验就错了。当然还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的这两个悖论就属于第二种。
16｜无穷小（二）：牛顿和贝克莱在争什么？
贝克莱找到了牛顿的一个小漏洞，于是就挑战牛顿说，你说的无穷小的时间Δt 到底是不是零啊？如果是零，它不能做分母，如果不是零，你的公式给出的还是一个平均速度，而不是瞬间速度。贝克莱提出的问题看似很小，却引发了第二次数学危机，第一次是发现无理数造成的危机，危机的根据就在于牛顿那个时代的人在逻辑上讲不清楚无穷小是什么。
17｜无穷小（三）：用动态和极限的眼光看世界
首先，极限是客观存在；其次，极限最大的特征是“无限逼近”，最后趋同。这种对极限的认知，来自于柯西，最终被魏尔斯特拉斯用数学的语言描述清楚了。
不是给大家一个比生活中所理解的极限更准确的定义，而是学会用动态的眼光，无限变化的眼光看待世界。
18｜有什么比无穷大更大，比无穷小更小？
虽然无穷大和无穷小不是具体的数，但它们也能比较大小，比的不是具体的数值，而是变化的趋势。变化趋势快的，叫做高阶，变化趋势慢的，叫做低阶。
19｜复盘：数学给了我什么启示？
有穷和无穷
知道自己的知识有穷尽，而未知世界无穷尽，反而会更接近真理，更容易提高自己的认知。
静态和动态
真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。
精明与聪明
过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到长期的利益，这样反而不聪明了。
现实与虚构
真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。
直觉和逻辑
逻辑可以帮助我们分析清楚我们看不到的事情，甚至不存在的事情。
概念和表述
做事专业，就需要掌握专业的术语。
20｜几何学：为什么是数学中最古老的分支？
21｜公理体系：几何的系统理论从何而来？
几何学是建立在五条一般性的公理（也被称为一般性概念），和五条几何学公理（也被称为公设）之上的。整个几何学的基础是十条非常简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。
五条一般性公理
1.如果 a=b, b=c, 那么 a=c；
2.如果 a=b，c=d，那么 a+c=b+d;
3.如果 a=b，c=d，那么 a-c=b-d;
4.彼此能重合的物体（图形）是全等的;
5.整体大于部分。
五条几何学公理
1.由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；
2.一条有限直线可以继续延长；
3.以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；
4.凡直角都彼此相等（垂直公理）；
5.过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。平行线，就是平面上永不相交的两条线。
22｜非欧几何：相对论的数学基础是什么？
在数学史上，有两个人就把几何学中的第五公理改了，然后依照逻辑，各自创立出一整套能够自洽的新的几何体系。
第一个人叫做罗巴切夫斯基，他假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。如果我们承认他所作出的这个假设，并且应用由此而来的全部结论，那么空间就由我们平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也称为双曲面。在这样的空间里，三角形的三个角加起来就小于 180 度了。这样的几何学叫做罗氏几何。
第二个人是著名数学家黎曼，他假定经过直线外任意一个点，一条平行线也做不出来。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状，这个空间每一个切面是椭圆，因此它也被称为椭球空间。如果你在上面画一个三角形，它的三个角加起来大于 180 度。这样的几何学叫做黎曼几何。
在黎曼几何诞生之后的半个多世纪里，它也没有找到太多实际的用途，真正让它为世人知晓的并非其他数学家，而是著名的物理学家爱因斯坦。在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。
23｜解析几何：用代数的方法解决更难的几何题
解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。
24｜为什么几何能为法律提供理论基础？
25｜函数（上）：从静态到动态，从个别到趋势
函数是一种特殊的对应关系，任何一个变量只能对应一个函数值。
26｜函数（下）：如何通过公式理解因果关系？
27｜向量代数（上）：“方向比努力更重要”是鸡汤吗？
28｜向量代数（下）：如何通过向量夹角理解不同“维度”？
29｜线性代数：“矩阵”到底怎么用？
30｜微分（上）：如何从宏观变化了解微观趋势？
因此导数的本质是对变化快慢的准确量化度量。
31｜微分（下）：搞懂“奇点”，理解“连续性”
32｜积分：如何从微观趋势了解宏观变化？
33｜用变化的眼光看最大值和最小值
34｜微积分到底是谁发明的？
很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从 0 到 N 的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚。
35｜概率简史：一门来自赌徒的学问
36｜伯努利试验：到底如何理解随机性？
37｜泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？
38｜高斯分布：大概率事件意味着什么？
39｜条件概率和贝叶斯公式：机器翻译是怎么工作的？
40｜概率公理化：一个必须补上的理论漏洞
41｜统计学和大数据：为什么大多数企业用不好数据？
42｜古德-图灵折扣估计：黑天鹅事件能防范吗？
43｜零和博弈（鞍点理论）：如何找到双方的平衡点？
44｜非零和博弈（纳什均衡）：真的存在共赢吗？
45｜数学和哲学：一头一尾的两门学科
我们通常会觉得这一头一尾的数学和哲学是没有实际用途的，中间可以实用的自然科学才值得我们去学习。但是，无用之用，方为大用。一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍性原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。这也是数学和哲学的共同之处。
如果哪位读者想当数学家，需要具有一颗自由而炽热的心，去追求很高的、比较纯洁的精神生活，并且能够站在哲学的高度去研究数学。
46｜数学与自然科学：数学如何改造科学？
47｜数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？
48｜数学和其它学科：为什么数学是更底层的工具？
49｜伽罗瓦和古典数学难题：难题给我们的启发
首先，绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。
50｜当今的七大千禧数学难题
1900 年德国数学家大卫·希尔伯特提出了 23 个历史性的数学难题，它们反映出当时数学家们对数学的思考。经过一百年，大约有 17 个难题得到了解决，或者已被部分解决，它们对科学的发展帮助极大。
庞加莱猜想
庞加莱猜想讲的是任何一个单连通的、封闭的三维形体，等价于一个三维的球。2003 年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了对庞加莱猜想的证明
NP 问题
NP 这两个字母代表非多项式的意思，在计算机科学中，有很多问题至今没有找到不超过多项式复杂度（即 O(N^k)）的算法，但是如果你给出答案，我们有算法可以在多项式复杂度的时间内验证答案的正确性。
霍奇猜想
在七大千禧难题中，它也被认为是对非专业人士而言最难理解的一个，大家知道这个名词即可。
黎曼猜想
2017 年，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣称解决了黎曼猜想，后来被证明是一个大乌龙。黎曼猜想的主题是研究素数分布的问题，这对我们今天的加密有很大的意义。
杨-米尔斯存在性与质量间隙
首先，这是由杨振宁先生和他的学生米尔斯共同提出的，今天它又被称为杨-米尔斯理论，它是对狄拉克电动力学理论的完善。经典的杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程，也被称为杨-米尔斯方程。上述千禧问题是要证明杨-米尔斯方程组有唯一解。而这个问题的解决，关乎到理论物理学的数学基础，或者说能否有一个在数学上完整的量子规范场论。
其次，物理学家们普遍相信这个问题的答案是肯定的，而且已经有物理学家基于这个理论开展工作获得了诺贝尔奖。但是这个问题的解决前景非常不乐观，数学界普遍认为这个问题太难了。杨振宁先生的这个理论，重要性其实一点不亚于他获得诺贝尔奖的工作。这个问题如果在杨先生有生之年被证明，他有大概率再次获得诺贝尔奖。
纳维-斯托克斯存在性与光滑性
这是一个流体力学的问题。它的意义也就不言而喻了。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
这其实是一个椭圆曲线问题，椭圆曲线是数论研究的重要领域，我们前面讲到的安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明用到的主要工具就是椭圆曲线。事实上，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陈述就是由怀尔斯写的。今天的比特币加密，也是利用椭圆曲线验证解和求解在时间上的不对称性实现的。因此，这个问题有非常明确的应用场景。
总结
今天有的人带着一副深思熟虑的表情，以自命不凡的语调预言文化衰落，并且陶醉于不可知论。我们对此并不认同。对我们而言没有什么是不可知的，并且在我看来，对于自然科学也根本不是如此。相反，代替那愚蠢的不可知论的，是我们的口号：我们必须知道，我们必将知道！——希尔伯特
书摘
华罗庚先生的贡献在于找到了一种一线职工都很容易掌握和运用的数学方法解决实际问题，并且用非常通俗的语言把复杂的方法简单化。
在很多需要作决定的事情上，我自觉或者不自觉地把作决定的时间放在黄金分割点或者反方向的黄金分割点上。
