广东省佛山市普通高中2012届高三教学质量检测(一)

文科数学

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

参考公式: 棱锥的体积公式： .

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1． 已知全集 ，集合 ， ，则集合

A．      B．      C．      D．

2．等差数列 中， ，且 成等比数列，则

A．                 B．                         C．                       D．

3．下列函数中既是奇函数，又在区间 上是增函数的为

A．       B．          C．      D．  

4．已知 是虚数单位， 、 ，且 ，则  

A．                              B．                                  C．                                     D．  

5．已知椭圆 的离心率 ，则 的值为

A．           B． 或       C．         D． 或

6．“关于 的不等式 的解集为 ”是“ ”

A．充分而不必要条件                 B．必要而不充分条件

C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

7．把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为

A．               B．

C．              D．

3

 

 

2

2

2

 

8．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为

①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是  

   A．①②          B． ②③

 C．③④          D． ①④

9.  某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在 岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是

A． 岁

B． 岁  

C． 岁

D． 岁

10. 已知向量 ， ，其中 .若 ，则 的最小值为 

A．                 B．                        C．                      D．

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分）

(一)必做题(11～13题)

11. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

	合唱社	粤曲社	书法社
高一	45	30
高二	15	10	20

  

 

 

 

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 人，结果合唱社被抽出 人，则这三个社团人数共有_______________.

12. 已知不等式组 ，  表示的平面区域的面积为 ，点 在所给平面区域内，

则 的最大值为            .

13. 对任意实数 ，函数 ，如果函数

，那么函数 的最大值等于            .

 (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

C

A

P

B

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离为__________.

15.（几何证明选讲）如图， 为圆 外一点，由 引圆 的

切线 与圆 切于 点，引圆 的割线 与圆 交于

点.已知 ， .则圆 的面积为      .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

在△ 中，角 、 、 的对边分别为 ，若 ，

且 .

（1）求 的值；

（2）若 ，求△ 的面积.

 

17．（本题满分12分）

文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级 和获得等级不是 的机会相等，物理、化学、生物获得等级 的事件分别记为 、 、 ，物理、化学、生物获得等级不是 的事件分别记为 、 、 .

（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 的所有可能结果（如三科成绩均为 记为 ）；

（2）求该同学参加这次水平测试获得两个 的概率；

（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于 ，并说明理由.

 

18．（本题满分14分）

如图，三棱锥 中， 底面 ，

， ， 为 的中点，

为 的中点，点 在 上，且 .

（1）求证： 平面 ；

（2）求证： 平面 ；

（3）求三棱锥 的体积.

 

19．（本题满分14分）

已知圆 ，圆 ，圆 , 关于直线 对称.

（1）求直线 的方程；

（2）直线 上是否存在点 ，使 点到 点的距离减去 点到 点的距离的差为 ，如果存在求出 点坐标，如果不存在说明理由.

 

20．（本题满分14分）

设 ,函数 .

（1）讨论函数 的单调区间和极值;

（2）已知 和 是函数 的两个不同的零点,

求 的值并证明: .

 

21．（本题满分14分）

设 ，圆 ： 与 轴正半轴的交点为 ，与曲线 的交点为 ，直线 与 轴的交点为 .

（1）用 表示 和 ；

（2）若数列 满足： .

①求常数 的值使数列 成等比数列；

②比较 与 的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（文科）参考答案和评分标准

一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	B	B	D	D	A	C	B	C	C

二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

11．     12．   13．     14．     15．  

三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

16．（本题满分12分）

解：（1）∵ ,  ∴      …………………3分

      ∴

                                                …………………6分

（2）由（1）可得                             …………………8分

    在△ 中，由正弦定理 

     ∴   ,                               …………………10分

∴ .                         …………………12分

17．（本题满分12分）

解：（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 的可能结果有 种，

分别为 、 、 、 、 、 、 、 ；                                             …………………4分

（2）由（1）可知，有两个A的情况为 、 、 三个，

从而其概率为                                                      …………………8分

 

 

（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件概率大于 ，                                                                …………………10分

理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 、 ，

概率是 .                                             …………………12分

方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 的事件概率大于 ，                                                                 …………………10分

理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 、 ，

概率是 .                                         ……………………12分

18．（本题满分14分）

（1）证明：∵ 底面 ，且 底面 ， ∴             …………………1分

由 ，可得                                       …………………………2分

又  ，∴ 平面                                …………………………3分

注意到 平面 ， ∴                                 …………………………4分

, 为 中点，∴                                …………………………5分

  ， ∴ 平面                                …………………………6分

（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，

    ∵ 为 中点， ，∴ .                                 ……………7分

    ∵ 平面 平面 ， ∴ 平面 .                     ……………8分

   同理可证： 平面 .  

又 ， ∴平面 平面 .                                    …………9分

  ∵ 平面 ，∴ 平面 .                                       …………10分

（3）由（1）可知 平面

又由已知可得 .

                                        …………12分

     ∴

   所以三棱锥 的体积为 .                                          …………14分

 

 

 

19．（本题满分14分）

解：（1）因为圆 , 关于直线 对称，

圆 的圆心 坐标为 ，圆 的圆心 坐标为 ，                  ……………………2分

显然直线 是线段 的中垂线，                                         ……………………3分

线段 中点坐标是 ， 的斜率是 ，       ……………………5分

所以直线 的方程是 ，即 .                        ……………………6分

（2）假设这样的 点存在，

因为 点到 点的距离减去 点到 点的距离的差为 ，

所以 点在以 和 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支上，

即 点在曲线 上，                                    ……………………10分

又 点在直线 上， 点的坐标是方程组 的解，               ……………………12分

消元得 ， ，方程组无解，

所以点 的轨迹上是不存在满足条件的点 .                               ……………………14分

20．（本题满分14分）

解：在区间 上, .                                ……………………2分

①若 ,则 , 是区间 上的增函数,无极值；              ……………………4分

②若 ,令 得: .

在区间 上, ,函数 是增函数;

在区间 上, ,函数 是减函数;

在区间 上, 的极大值为 .

综上所述，①当 时, 的递增区间 ,无极值；                    ……………………7分

③当 时， 的是递增区间 ，递减区间是 ，

函数 的极大值为 .                                    ……………………9分

(2) ∴ ，解得: .                            ……………………10分

∴ .                                                  ……………………11分

又 , ,               ……………………13分

由(1)函数 在 递减,故函数 在区间 有唯一零点,

因此 .                                                           ……………………14分

 

21．（本题满分14分）

解：(1) 与圆 交于点 ,则 ,    ……………………2分

由题可知，点 的坐标为 ，从而直线 的方程为 ,    ……………………3分

由点 在直线 上得: ,                          ……………………4分

将 ， 代入化简得: .          ……………………6分

(2)由 得： ，                            ……………………7分

又 ，故 ，           ……………………8分

① ，

令 得：

                 ……………………9分

由等式 对任意 成立得：

，解得： 或

故当 时，数列 成公比为 的等比数列；

当 时，数列 成公比为2的等比数列。                ……………………11分

②由①知： ，当 时， ；

当 时， .                                    ……………………12分

事实上,令 ,则 ,

故 是增函数,

即: ,即 .              ……………………14分