数学建模是宇宙自我量度的定量几何形式表现

摘要

数学建模是宇宙数学模型本身的形、数统一的动态过程；列举了宇宙整体绝对运动的数学建模、以及整个宇宙内部相对性运动的自然数建模的例子。数学建模的重要性在于，对宇宙的认识的每一步进展都是离不开数学建模的；特别是，当前数学建模的重要性在于数学家华罗庚曾说的：“是否有一个统一的处理方法，把宏观世界和微观世界统一在一个［规范］理论之中，把四种作用力统一在一个［规范］理论之中，这是物理学家当前的重大问题之一。”

引言

　　在国家精品课程（中国大学MOOC ）全国大学生数学建模竞赛组织委员会的《走近数学——数学建模篇》的讨论区，作为课堂交流，中国科学院院士、复旦大学教授李大潜老师给出了“讨论2：用简明的语言说出什么是数学建模，列举几个你熟悉的数学建模的例子，并谈谈你自己是怎样认识数学建模的重要性的”这个课题。（网址为： https://www.icourse163.org/learn/cumcm-1001674011/wapForumDetail/?pid=1211273475）

1　什么是数学建模

关于“用简明的语言说出什么是数学建模”，学生的回答是：

数学建模是数学模型本身的动态过程。数学模型是整个物质宇宙自身的各种运动的形、数统一或相结合的几何形式（形态）表现。

上面用简明的语言说出了什么是数学建模，但这样的新见解并未在数学课程或教材中出现过，不妨详述如下。

《辞海》：“数学——研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”，即数学是研究现实世界［又称“现实宇宙”］的形和数的科学。

李大潜老师在课程中说，世间的万事万物都有形和数。

几何学图形简称“形”。物有形，形有数或为形配数，其源于人类文明的历史一贯有效的物质实践直接经验。

事实上，我们在客观的物质实践（实验）中直接经验到（看到或体验到）物有形，首先抽象得形，而用形刻画（描述或表示）物；再为抽象得来的形配数，即形数结合，从而形有数，以定量刻画或表示物。形是数之根。

恩格斯《反杜林论》：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。……纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”^[1]35 所以，数学就是现实宇宙的形、数统一或相结合的几何学模型。简单讲，数学就是宇宙的几何学（模型）。

世界（宇宙）统一于物质。“运动是物质的存在方式。无论何时何地，都没有也不可能有没有运动的物质。”^[1]56 换言之，物是动者，动者是物，不存在绝对不动的物。所有的物质（整个宇宙）是绝对运动的，绝对运动者是也只能是整个宇宙。整个宇宙的各种运动包括两大方面：一方面是整个宇宙的整体运动——绝对运动；再就是整个宇宙内部的各种运动——相对性运动。

所以，数学即是数学模型，亦即现实宇宙的各种运动的形数结合几何学形式表现。

这样一来，数学建模即是数学模型本身的形、数统一或相结合的动态过程。

量度（运动）是宇宙几何学中的基本概念。我们从现实存在的可具体操作的物质模型求得一个完整宇宙的几何抽象（图形），以开始定量刻画整个物质宇宙，作为宇宙几何学的公理化理论演绎的唯一出发点，并根据宇宙本身的自我量度（运动），探索和求解整个宇宙的各种运动、及其运动的形、数结合几何学——数学科学的形式规律表现。所谓公理，是能够用作宇宙数学模型自我演绎的出发点的初始假设、原理或规定［规范］。

数学模型是我们从实际存在的可具体操作的物质模型（个别的实物及其个别的运动形式）求得的（找到的、发现的、抽引出来的），它是现实世界自己的运动形式表现。我们求得宇宙的数学模型的过程，习惯上也称之为数学建模。

上述的数学建模，从理论出发点开始后的全过程都是完整宇宙的动态几何抽象，其所有的数都是根据宇宙物质的动态几何形式（形态）推导出来的，其数依附于宇宙的形而存在。

但是，西方现代的常规数学界认知缺陷严重，其数学思想中没有一个完整宇宙的科学抽象。西方的数学不具备物质宇宙的科学理论意义，其如李大潜老师在课程中介绍的牛津通识读本、英国数学家蒂莫西·高尔斯的《数学》一书中说：“［西方的］数学所研究的并非是真正的现实世界，而只是［虚构的］现实世界的数学模型，即所研究的那部分现实世界的一种虚构和简化的版本”。

截图：牛津通识读本、英国数学家蒂莫西·高尔斯的《数学》一书中对数学的解释

中国数学会[微信号：CMS-1935] 于2018-03-31转载的《数学学科专业发展战略研究报告》开篇一段话中说：“数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的”，此说的数学亦是纯思辨的虚构。

上述的西方的数学中的这种虚构，正是以黑格尔为代表的唯心主义的思辨哲学的产物。（《辞海》：“思辨哲学　试图从概念中推出实在，使客观宇宙的发展服从于人的思维构造出来的一般法则的哲学。”）所以必须把事情顺过来，从客观实际出发，根据物质实践的直接经验求得整个现实世界（现实宇宙）的形和数。恩格斯指出：

“辩证法的规律是从自然和人类社会的历史中抽象出来的。辩证法的规律不是别的，正是历史发展的这两个方面和思维本身的最一般的规律。实质上它们归结为下面三个规律……所有这三个规律都曾被黑格尔以其唯心主义的方式只当作思维规律而加以阐明；……错误在于：这些规律是作为思维规律而强加给自然界和历史的，而不是从它们当中抽引出来的。从这里就产生出整个牵强的并且常常是可怕的虚构：宇宙，不管它愿意与否，必须符合于一种思想体系，而这种思想体系自身又只是人类思维某一特定发展阶段的产物。如果我们把事情顺过来，那么一切都会变得很简单，在唯心主义哲学中显得极端神秘的辩证法规律也立刻就会变得简单而明白的了。”^[2]46

关于西方的数学中的形和数，美国的数学史权威、数学家莫里斯·克莱因教授指出：“佩莱蒂耶（Jacques Peletier，1517—1582）在他的《欧几里得几何原本的证明》（In Euclidis ElementaGeometrica Demonstrationum，1557）一书中，批评了欧几里得使用叠合法去证明全等方面的定理，甚至哲学家叔本华（ArthurSchopenhauer）在1844年也说，他感到很奇怪的是，数学家们攻击欧几里得的平行公设，而不去攻击重合的图形是相等的这一条公理。他论述说，重合的图形自然是相等或恒等的，因而无需什么公理；或者，重合完全是一种经验性质的事情，不属于纯直觉知识（Anschauung），而是属于外部感官经验。另外，这条公理预先假设图形的可移动性；但是，在空间中能够移动的是物质，因此超出了欧几里得几何的范围。19世纪已普遍认识到：叠合法或者是建立在一些未明确说明的公理的基础上，或者必须用另一种探讨全等的方法来代替。”[3]

　　但是，上述欧几里得《原本》的关于“图形的可移动性”问题，在西方的数学中至今仍未得到解决。其图形不具有物质意义，而需要其公理系统以外的未明确说明的公理才能使图形移动。因此其使用（移动图形的）叠合法去证明全等方面的定理都不成立；于是西方数学中的数轴不成立（其理论给不出直线中的数或刻度，亦给不出直线）；以康托尔的连续统假设中的基数表数轴上的数或刻度（点）的个数亦不成立，但其基数及数轴却作为西方的数学的微积分理论的基石；于是西方的数学的微积分理论亦不成立。爱因斯坦惊呼：“无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的。理论物理学的基础重新受到震撼。”^[4] 结论：物质及其运动的理论描述已超出了西方的数学的范围。

　　中国本土的数学界发现，叠合法必须建立在物质实践直接经验的感性认识的物有形、形有数或为形配数以几何直观明确地定量表述的公理的基础上，或者必须用可具体操作的物质量杆自我量度（运动）即“对折”这种探讨全等的方法来代替欧几里得几何的“叠合法”[5]。

关于数学所描述的真正的现实世界，何谓真？就整个宇宙中的事情而论，以实践直接经验到的物质的存在方式——运动为真。

2　数学建模——宇宙自我量度的几何学模型

　　在几何学历史上，形有三种单位：① 线[长度]单位（图A）——尺 ；② 面积单位（图A′）——尺×尺=尺²=平方尺；③ 体积单位（图A″）——尺×尺×尺=尺³=立方尺 。在形的上述三种单位中，最基本最简单的是长度单位——尺（图A）。再者，《几何原本》卷一之首：点为线[长度]之界，线为面之界，面为体之界，体不可为界。（见《辞海》1999年版：“界”）

图　形有三种单位

　　那么，长度单位（图A）——“尺”是怎样从具体的物质模型（个别的实物及其运动形式）抽象出来的呢？人当怎样认识物质及其运动？

恩格斯说：“注意。物质本身是纯粹的思想创造物和纯粹的抽象。”^[2]233又：“确实有人认为，我们也不知道什么是物质和运动！当然不知道，因为抽象的物质和运动还没有人看到或体验到；只有各种不同的、现实地存在的实物和运动形式才能看到或体验到。实物、物质无非是各种实物的总和，而这个概念就是从这一总和中抽象出来的；运动无非是一切可以从感觉上感知的运动形式的总和；象'物质’和'运动’这样的名词无非是简称，我们就用这种简称，把许多不同的、可以从感觉上感知的事物，依照其共同的属性把握住。因此，要不研究个别的实物和个别的运动形式，就根本不能认识物质和运动；而由于认识个别的实物和个别的运动形式，我们也才认识物质和运动本身。”^[2]214

问题仅在于，根据研究个别物质的具体运动形态，我们能否认识或找到现实宇宙的形和数。

现在，我们从客观实际出发，取用一条蓍草茎的抽象——线段AB（图1–a₁）为个别的实物，而对其施以可具体操作的实践——施以一定形式的自我量度（运动）或对折，则得图1–a₂（“动”与“不动”）。以图1–a₂为基础又对折，则得图1–a₃。从而获得了实践直接经验的感性认识，即在图1–a₃中：

(1) 绝对动的物AD，是而且只能够是整个现实宇宙（又称“现实世界”）的抽象——尺。即“尺”是整个现实宇宙的几何抽象。（《辞海》：“数学——研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”，即数学是研究现实世界[现实宇宙]的形和数的科学。）

(2) 识者则知，能够同整个现实世界（现实宇宙）AD（尺）重合相等者DC，是而且只能够是整个现实世界于虚空中的容身处所。

(3) 绝对不动者CB，是而且只能够是整个现实宇宙AD（尺）绝对运动的场所——虚空。

在具备了以上实践经验的感性认识后，中国人便经验方法地绳直图1–a₃，而得图1–a₄。在图1–a₄中，整个现实宇宙AD（尺）显现出唯一的物质态，即中国人的实践唯物论。（毛泽东《实践论》：“一切真知都是从直接经验发源的”、“离开实践的认识是不可能的”，因为物质实践是求得直接经验的唯一方法。）于是，中国人的认识论便从认识的低级阶段——感性认识的基础上，开始升华而发展到了认识的高级阶段——理性认识，从而提出了唯一的一个出发点——假设或

公理：“宇宙只有一个”，

以数值定量地刻画整个现实宇宙（图1–a₅），数、形统一或相结合几何方法地探索和求解现实宇宙的整体运动——绝对运动（图1–a₆，……）及其运动规律，从而可导出宇宙绝对运动具有三过程循环无限及其任一过程皆三阶段发展的形数结合几何形式规律表现^[6]。

再者，根据公理：“宇宙只有一个”，继以这一个完整宇宙的抽象（一尺，即图1–a₅中的实者），亦即以表整个现实宇宙的图2–a₁（一尺）行以深入探索，求解整个宇宙内部的各种运动——相对性运动及其运动规律，从而建立起中国本土的形象化的新相对论——数、形统一而左右内向对称的相对性论理论（图2–a₆，……），是可能的。

物质宇宙（图2-a₁）具有左右内向对称的证明如下^[7]：

对图2–a₁施以一定形式操作的自我量度[运动]或对折，则得整个现实宇宙内部的相对运动态（图2–a₂）。经验方法地绳直图2–a₂，则得标量态的图2–a₃。将该标量态的图2–a₃，变换成矢量态的图2–a₄，是可能的。

运动是整个宇宙的存在形式。表整个现实宇宙的图2–a₄绕自身中心平旋两个直角，则得图2–a₅；图2–a₅绕自身中心平旋两个直角，则得图2–a₄；这种无休止而永恒的整体自旋，即整个现实宇宙于虚空中的运动（绝对运动），但这整个过程却具有形、数结合左右内向的对称（图2–a₆）。因为，宇宙整体自旋绝对运动总是不断地否定图2–a₄又否定图2–a₅的定量形式，而具有图2–a₆的定量形式表现。（证毕）

　　列宁说：“统一物［宇宙统一于物质，图2-a₁］之分为两部分［图1-a₃］以及对它矛盾着［图2-a₆，即图2'-a₆］的部分［图2'-a₆的右侧或左侧的动态］的认识，是辩证法的实质（是辩证法的'本质’之一，是它的主要特点或特征之一，甚至是它的最主要特点或特征）。”[8]

　　运动是物质宇宙的存在方式，整个物质宇宙（一尺，即图2-a₆，亦即图2'-a₆）内部的相对性运动只能够首先是内耗的排斥，其几何形式表现只能够是形、数结合的“几何分形及其张量态”^[7]。即：对图2'-a₆施以实取损其半，则得图2'-a₇；接着对图2'-a₇实取损其半，则得图2'-a₈；对图2'-a₈施以通分，则得图2'-a₉；将图2'-a₉一般化，则得图2'-a₁₀。

　　对图2'-a₁₀行以几何物理方法（俗称“数学物理方法”）的张量运算，即将图2'-a₁₀扩大2ⁿ倍，以描述宇宙的暴胀运动，则得图2'-a₁₁；接着将图2'-a₁₁扩大2倍，以描述宇宙的膨胀运动，则得图2'-a₁₂，其张之入微而不可再张，即宇宙暴胀和膨胀过程之终。将图2'-a₁₂展开平面态的图2'-a₁₃。

【注：图2'-a₆至图2'-a₁₀称为整个宇宙（图2'-a₆）内部物质耗损的几何分形，它是根据宇宙（图2-a₁）依次自我量度（运动）或对折（譬如图2-a₂）之唯一可行定量方法导出的结果。但因为运动是物质的存在方式，故知几何分形之无常也，即可导出各种几何分形（以刻画宇宙内部的各种运动）。】

3　数学建模的重要性

　　根据上述数学建模的演绎推导证明，现将图2'-a₁₂及其展开的图2'-a₁₃定义为整个宇宙（即“一尺”，亦即图2-a₆或图2'-a₆）的物质的量子数，即整个宇宙的物质的几何连续统整数（几何整数连续统），亦即整个宇宙的混沌无序数或自然数（系统）。换言之，（图2'-a₁₂）=（图2'-a₁₃）表整个宇宙的量子混沌无序态或自然态，又称为量子宇宙数学模型，它把宏观世界和微观世界统一在一个几何整数的规范理论（量子规范理论）之中。

　　在宇宙几何学模型中，量子是宇宙物质的最小（无穷小）成分，即是整个宇宙（图1-a₁）内部的物质相对性（图2-a₂，即图2-a₆，……）的耗散运动过程（量子化过程）之终的形数结合几何学形式表现（纯数学形式的解）。量子是用形数结合的量子数（图2'-a₁₂及其展开的图2'-a₁₃）来刻画的。量子数可以是整数（图2'-a₁₂中的数）或半整数（图2'-a₁₃中的数）。

　　整个宇宙的物质量子数（图2'-a₁₂及其展开的图2'-a₁₃）即是宇宙的自然数（系统），其存在性是根据图1、图2及图2'而得证成立的，即其数都依附于宇宙的形而存在。宇宙的自然数是几何的内向对称整数。从而颠覆了现代数学中皮亚诺公理定义的有数无形的自然数系统。现代的数学界认知缺陷严重，其数学思想中没有一个完整宇宙的几何抽象［概念］。

宇宙的自然数，是从表整个宇宙的形数结合几何学图形“一尺”（公理：“宇宙只有一个”）出发，用宇宙自我量度的动态几何学演绎推导（证明）出来的，而不是现代数学中的皮亚诺公理（又称“自然数公理”）定义出来的。 因为，在公理化体系中，未经证明的定义是不可靠的。必须证明所有的数（点）都依附于表整个宇宙的几何学图形“一尺”而存在。美国的数学史权威、数学家莫里斯·克萊因指出：“萊布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)就举出过正十面体这样一个例子；我们可以定义这样一个图形，但它并不存在。如果有人并未意识到这图形不存在就着手去证明有关这图形的定理，那他得出的结果将是胡说一气。”^[9]43

　　运动是宇宙物质的存在形式。整个宇宙内部的物质耗散（内耗的排斥）而量子化的过程之终（量子混沌无序态的图2'-a₁₂，即图3-a₁），必转变为量子有序而可积（可无穷积分，即量子无穷集合）的量子凝聚形式的运动（即凝聚态物理过程）；其过程转变的条件，是也只能够是量子吸引相互作用出现（其数学形式只能表现为局域等值变换，即几何整数微分——图3-a₂）。因此，量子数（图3-a₁及其展开的图2'-a₁₃）是继续刻画整个宇宙的量子集合形式、探索和求解宇宙的凝聚态物理过程（图3-a_2,3,4,……）的各种运动的基础。

　　一言以蔽之，根据个别物质模型实践的直接经验，找到或发现一个完整宇宙的几何抽象“一尺”，即找到理论演绎的唯一出发点——公理：“宇宙只有一个”，建立起物质宇宙的形数统一或相结合的动态几何学模型——数学科学模型（图1-a₅中的实者，即图2-a₁，亦即图2-a₆，……），以几何分形及其几何物理方法（俗称“数学物理方法”）的张量态导出物质的几何连续统整数——量子数系统（即物质的几何整数规范理论，亦即量子规范理论），继而导出几何整数微分——可积系统的初始条件（亦即凝聚态物理过程——我们人类的宇宙过程的初始条件或边界条件），是发展具有物质宇宙意义的数学学科——数学科学的根本任务，也是推动数学科学应用的基础。

　　关于宇宙过程的初始条件，S.W.霍金在就任剑桥大学卢卡西恩（Lucasion）讲座教授时的就职讲演中曾说：“我认为宇宙［过程］的初始条件，是和局部的物理定律一样，都是同样适合作为科学研究及理论的课题来探讨的。”哈利韦尔说：关于量子宇宙学和宇宙创生的西方的“研究人员中最著名的是加利福尼亚大学的J.B.哈特、剑桥大学的S.W.霍金、莫斯科勒贝德夫物理学院的A.D.林德和图夫茨大学的A.维林金。他们提出了相当明确的初始条件定律，即创生时刻必须存在的条件。”又：“量子宇宙学家不可推卸的任务是提出宇宙［过程的］初始条件或边界条件的定律。”^[10] 但是，西方的研究人员们给出过图3-a₂了吗？没有。

　　其实，数学［模型］是宇宙自我运动（而建模）的几何形式表现（图1，图2，图2'，……）。恩格斯说：“数学。辩证的辅助工具和表现形式。”^[2]3 数学家华罗庚《数学的用场与发展》一文中说：“对宇宙的认识还将有多么大的进展，我不知道，但可以说，每一步都是离不开数学这个［宇宙自我量度及其定量表现］工具的。”又：“是否有一个统一的处理方法，把宏观世界和微观世界统一在一个［规范］理论之中，把四种作用力统一在一个［规范］理论中，这是物理学家当前的重大问题之一。不管将来他们怎样解决这个问题，但是在处理这些问题的数学方法必须统一。必须有一套既可以解释宏观世界又可以解释微观世界的数学［形式］工具。数学一定和物理学刚开始的时候一样，是物理科学的助手和［物质定量表现］工具。” 这就是数学建模的重要性所在。

参考文献

[1]　恩格斯.反杜林论(中译本)[M].北京: 人民出版社,1970.

[2]　恩格斯.自然辩证法(中译本)[M].北京: 人民出版社,1971.

[3]　〔美〕莫里斯・克莱因. 古今数学思想: 第三册[M]. 邓东皋、张恭庆 等译.上海: 上海科学技术出版社, 2014:169-170.

[4]　许良英、范岱年编译. 爱因斯坦文集(第一卷)[M]. 北京: 商务印书馆, 1976：175-176.

[5]　陈江. 《物质无限可分的纯理论数学求解——依靠唯物辩证法增强科学发展本领》.见文章6.3，网址为：https://mp.weixin.qq.com/s/meEieUibsBKevxUZvcmj_g 

[6]　曾炜锋．论物动学中公理化的形数结合几何学方法(1)．科学之友，2009年11月（33）：1-6． https://www.ixueshu.com/document/d941a8cf6405d679318947a18e7f9386.html

[7]　曾炜锋．论物动学中公理化的形数结合几何学方法(2)．科学之友，2010年04月（12）：1-8．https://www.ixueshu.com/document/ea03bbe6622205f4.html

[8]　列宁．谈谈辩证法问题[M]．中译本．北京人民出版社，1973：1

[9]　〔美〕莫里斯・克莱因. 古今数学思想: 第一册[M]. 张理京、江泽涵 等译．上海: 上海科学技术出版社，2014: 43.

[10]　Jonathan J.Halliwell著, 龚静、韩玉荣 译, 量子宇宙学和宇宙创生[J]. 世界科学(月刊), 1992.10: 4.

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