《測圓海鏡》之大小差相關等式說之二﹝諸差3﹞
上傳書齋名:瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要:《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文之主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。
關鍵詞:大差差、小差差、圓徑、明勾、虛勾
《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,書成於 1248 年,時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。
本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1、b1、c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1、b1、c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。
《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1、b1、c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 ai、bi、ci 表之,其中 1 < i ≦ 15。但 ai、bi、ci 均可以 a1、b1、c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立,即 ai2 + bi2 = ci2。
有關以 a1、b1、c1 表 ai、bi、ci 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。本文之等式取自《測圓海鏡‧卷一》“大小差”篇,本文乃“大小差”之次篇﹝首篇為〈《測圓海鏡》之大差、小差﹝2﹞相關等式說〉,亦為〈諸差篇〉之第三篇﹞,主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。
以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。
注意圓徑為 a1 + b1 – c1,見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一,其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。
本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式,其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現,可參閱筆者相關之文章。
注意等式 (c1 – b1)(c1 – a1) = (a1 + b1 – c1)2。
以下為有關“大小差”之式:
以大差差減圓徑,即明勾。此差若多於圓徑,則內減圓徑,餘即虛勾也﹝案:此條因題數偶合而誤,若勾股差甚大甚小者皆不能合﹞。以小差差減圓徑即小差弦也。大差弦上加一徑即大股上加虛勾也。小差弦上加一徑即大勾上加虛股也。大差股內減髙弦餘即髙股內減半徑。平弦內減小差勾餘即半徑內減平勾也。大差內減虛差即二明差。小差內減虛差即二差也。大弦內減大差股小差勾共即圓徑。三事和內減二之大差股小差勾共即三個圓徑也。
以下為各條目之証明:
以大差差減圓徑,即明勾。
大差在勾股形天月坤 10,大差差指大差上之勾股較,勾股較即勾股差。
大差上勾股差 = b10 – a10 = (c1 – a1) –(c1 – a1)
= (c1 – a1)(1 – )
= (c1 – a1)(b1 – a1) 。
以大差差減圓徑,即:
(a1 + b1 – c1) –(c1 – a1)(b1 – a1)
= [b1(a1 + b1 – c1) – (c1 – a1)(b1 – a1)]
= [b1a1 + b12 –c1b1 – c1b1 + c1a1 + a1b1 – a12]
= [2b1a1 + b12 –2c1b1 + c1a1 – a12]。
已知南月勾﹝又稱明勾﹞:a14 = (c1 – a1)(b1 – c1 + a1)
= (c1 – a1)[b1 – (c1 – a1)]
= (c1b1 – a1b1 – c12 – a12 + 2c1a1)。
顯然明勾不等於大差差減圓徑,亦不等於圓徑減大差差﹝見下條﹞。
此差若多於圓徑,則內減圓徑,餘即虛勾也﹝案:此條因題數偶合而誤,若勾股差甚大甚小者皆不能合﹞。
若以圓徑減大差差 = [– 2b1a1 – b12 + 2c1b1 – c1a1 + a12]。
已知太虛勾:a13 =(c1 – b1)(c1 – a1) = (c12 – c1a1 – c1b1 + a1b1 )。
從結果可知太虛勾不等於大差差減圓徑,亦不等於圓徑減大差差。事實大差差減圓徑與圓徑減大差差有相同之絕對值,但正負號相反。“案語”之說正確。清‧李銳撰《測圓海鏡細草》有類似案語。
以小差差減圓徑即小差弦也。
“小差差”即小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上勾股較 = b11 – a11。
b11 –a11 = – (c1 – b1) + (c1 – b1)
= (c1 – b1)(– 1)
= (c1 – b1)(b1 – a1)
= (c1b1 – c1a1 + a1b1 – b12)。
以小差差減圓徑,即:
(a1 + b1 – c1) –(c1b1 – c1a1 + a1b1 – b12)
= [a1(a1 + b1 – c1) – (c1b1 – c1a1 + a1b1 – b12)]
= (a12 + a1b1 – a1c1 – c1b1 + c1a1 – a1b1 + b12)
= (a12 – c1b1 + b12)
= (c12 – c1b1)
= (c1 – b1) 。
已知小差弦=c11 = (c1 – b1) 。
比較兩式可知相同,所以以小差差減圓徑 = 小差弦。
大差弦上加一徑即大股上加虛勾也。
“一徑”指圓直徑 a1 + b1 – c1。
已知大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞= c10 = (c1 – a1) 。
大差弦上加一徑= (c1 – a1) + (a1 + b1 – c1)
= [c1(c1 – a1) + b1(a1 + b1 – c1)]
= (c12 –c1a1 + b1a1 + b12 – b1c1)。
已知大股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b1。
太虛勾﹝在勾股形月山泛 13﹞:a13 =(c1 – b1)(c1 – a1)。
大股上加虛勾= b1 + (c1 – b1)(c1 – a1)
=[b12+ (c1 – b1)(c1 – a1)]
=(b12+ c12 – c1a1 – c1b1 + a1b1)。
比較兩式,可知大差弦上加一徑 = 大股上加虛勾。
小差弦上加一徑即大勾上加虛股也。
已知小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞= c11 = (c1 – b1) 。
小差弦上加一徑= (c1 – b1) + (a1 + b1 – c1)
= [c1(c1 – b1) + a1(a1 + b1 – c1)]
= (c12 –c1b1 + a12+ a1b1 – a1c1) 。
已知大勾﹝在勾股形天地乾 1﹞= a1。
太虛股:b13 = (c1 – b1)(c1 – a1)。
大勾上加虛股=a1 + (c1 – b1)(c1 – a1)
= (a12 + c12 –a1c1 – c1b1 + a12) 。
比較兩式,可知小差弦上加一徑 = 大勾 + 虛股。
大差股內減髙弦餘即髙股內減半徑。
注意“內減”一詞,即以前數為被減數。若無“內”字,則以前數為減數。
大差股﹝在勾股形天月坤 10﹞=b10 = b1 – (a1 + b1 – c1)
= b1 – a1 – b1 + c1 = c1 – a1。
髙弦在勾股形天日旦 6 或日山朱 7。
髙弦﹝即天日或日山﹞:c6 = ( a1 +b1 – c1) 。
大差股內減髙弦=(c1 – a1) –( a1 +b1 – c1)
= [2a1(c1 – a1) – c1( a1 + b1 – c1)]
= [2a1c1– 2a12 – c1a1 – c1b1 + c12]
= [2a1c1– 2a12 – c1a1 – c1b1 + a12+ b12]
= [a1c1– a12 – c1b1 + b12]
= [(b1 – a1)(b1 + a1) – c1(b1 – a1)]
= (b1 – a1)(b1 + a1 – c1)。
已知髙股﹝即天旦或日朱﹞:b6 = = ( a1 +b1 – c1) 。
圓半徑 = (a1 + b1 – c1) 。
髙股內減半徑= ( a1 +b1 – c1) –(a1 + b1 – c1)
=(a1 + b1 – c1)[ – 1]
=(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) 。
所以大差股內減髙弦 = 即髙股內減半徑。
平弦內減小差勾餘即半徑內減平勾也。
平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞:c8 = (a1 + b1 – c1) 。
小差勾 ﹝在勾股形山地艮 11﹞= a11= a1 – (a1 + b1 – c1)
= a1 – a1 – b1 + c1 = c1 – b1。
平弦內減小差勾,即:
c8 – a11 = (a1 + b1 – c1) – (c1 – b1)
= [c1(a1 + b1 – c1) – 2b1(c1 – b1)]
= (c1b1 + c1a1 – c12 – 2b1c1 + 2b12)
= (c1a1 – c12 – b1c1 + 2b12)
= (c1a1 – a12 – b12 – b1c1 +2b12)
= (c1a1 – a12 – b1c1 + b12)
= [(b1 – a1)(b1 + a1) – c1(b1 – a1)]
= (b1 – a1)(b1 + a1 – c1)。
已知圓半徑 = (a1 + b1 – c1) 。
平勾﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞:a8 = = ( a1 +b1 – c1) 。
半徑內減平勾,即:
(a1 + b1 – c1) –( a1 + b1 – c1)
=(a1 + b1 – c1) [1 –]
=(b1 – a1)(b1 + a1 – c1)。
所以平弦內減小差勾 = 半徑內減平勾。
大差差內減虛差即二明差。
大差差即大差﹝在勾股形天月坤 10﹞上勾股較,勾股較即勾股差。
大差上勾股差 = b10 – a10 = (c1 – a1) –(c1 – a1)
= (c1 – a1)(1 – )
= (c1 – a1)(b1 – a1) 。
虛差在勾股形月山泛 13。
虛差即太虛勾股較 = b13 – a13 = (c1 – b1)(c1 – a1) –(c1 – b1)(c1 – a1)]
= (c1 – b1)(c1 – a1)[–]
=(c1 – b1)(c1 – a1)(b1 – a1)。
大差差內減虛差,即:
(c1 – a1)(b1 – a1) –(c1 – b1)(c1 – a1)(b1 – a1)
= (c1 – a1)(b1 – a1)[1 –(c1 – b1)]
= (c1 – a1)(b1 – a1)(a1 + b1 – c1) 。
“明差”指明弦勾股較。
明弦勾股較=b14 – a14= (c1 – a1)(b1 – c1 + a1) –(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)
= (c1 – a1)(b1 – c1 + a1)[–]
=(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)(b1 – a1) 。
二明差= 2 ×(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)(b1 – a1)
= (c1 – a1)(b1 – a1)(a1 + b1 – c1) 。
比較兩式,可知大差差內減虛差 = 二明差。
小差差內減虛差即二差也。
小差差小差上勾股較 = – (c1 – b1) + (c1 – b1)
= (c1 – b1)(– 1)
= (c1 – b1)(b1 – a1)
= (c1b1 – c1a1 + a1b1 – b12)。
虛差即太虛勾股較 = b13 – a13 = (c1 – b1)(c1 – a1)(b1 – a1)。
小差差內減虛差,即:
(c1 – b1)(b1 – a1) – (c1 – b1)(c1 – a1)(b1 – a1)
= (c1 – b1)(b1 – a1)[1 – (c1 – a1)]
= (c1 – b1)(b1 – a1)(b1 – c1 + a1) 。
“差”指弦上勾股較。
弦上勾股較 = b15 – a15
= (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) – (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)
= (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(–)
= (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1) 。
二差 = 2×(c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1)
= (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1) 。
比較答案兩式,可知小差差內減虛差 = 二差。
大弦內減大差股小差勾共即圓徑。
已知大弦﹝在勾股形天地乾 1﹞=c1;
大差股﹝在勾股形天月坤 10﹞=b10 = b1 – (a1 + b1 – c1)
= b1 – a1 – b1 + c1 = c1 – a1。
小差勾﹝在勾股形山地艮 11﹞= a11= a1 – (a1 + b1 – c1)
= a1 – a1 – b1 + c1 = c1 – b1。
大差股小差勾共=c1 – a1 + c1 – b1 = 2c1 – a1 – b1
大弦內減大差股小差勾共=c1 – (2c1 – a1 – b1)
= c1 – 2c1 + a1 + b1
= a1 + b1 – c1。
上式a1 + b1 – c1 是為圓徑。
所以大弦內減大差股小差勾共 = 圓徑。
三事和內減二之大差股小差勾共即三個圓徑也。
“三事和”指勾股形天地乾 1 之三邊和 = a1 + b1 + c1。
“二之大差股”小差勾共 = 2 × (2c1 – a1 – b1) = 4c1 – 2a1 – 2b1。
三事和內減二之大差股小差勾共,即:
(a1 + b1 + c1) – (4c1 –2a1 – 2b1)
= a1 + b1 + c1 – 4c1 + 2a1 + 2b1
= 3a1 + 3b1 – 3c1
= 3(a1 + b1 – c1)。
上式即三個圓直徑。
所以三事和內減二之大差股小差勾共 = 三個圓徑。
以下為《測圓海鏡細草》原文:
联系客服