毕达哥拉斯与勾股定理

初中几何第二册　【背景资料－数学史话】

第三章 三角形

毕达哥拉斯与勾股定理

我们已经学习过了勾股定理。在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理，这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580~前500年）。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最左右一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、股、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早进入了人类知识的宝库。

无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富，值得一提的是：在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的。下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾股定理”为例，做一简单介绍：

一、毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯是一个古希腊人的名字。生于公元前6世纪的毕达哥拉斯，早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体--毕达哥拉斯学派，这个学派非常重视数学，企图用数来解释一切。他们宣称，数是宇宙万物的本原，研究数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。有些原始文明社会中的人（如埃及人和巴比伦人）也知道把数脱离实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认识程度，与毕达哥拉斯学派相比，是有相当差距的。而且在希腊人之前，几何思想是离不开实物的。例如，埃及人认为，直线就是拉紧的绳或田地的一条边；而矩形则是田地的边界。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。

正因为如此，毕达哥拉斯学派在他们的探索中，发现了既属于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公式：若2n+1，2n2+2n分别是两直角边，则斜边是2n2+2n+1（不过这法则并不能把所有的整勾股数组表示出来）。也正是由于上述原因，这个学派通过对整勾股数的寻找和研究，发现了所谓的“不可通约量”--例如，等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达。为此，他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”，意即相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比称做“不可公度比”。像我们今日写成√2：1的比便是不可公度比。至于√2与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的。这个证明指出：若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度，那么，同一个数将既是奇数又是偶数。证明过程如下：设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为a：b，并设这个比已表达成最小整数之比。根据毕达哥拉斯定理a2=b2+b2，有a2=2b2。由于2b2为偶数即x2为偶数，所以a必然也是偶数，因为任一奇数的平方必是奇数（任一奇数可表示为2n+1，于是（2n+1）2=4n2+4n+1，这仍是一个奇数。但是比a：b是既约的，因此，b必然不是偶数而是奇数，a既然是偶数，故可设a=2g。于是a2=4g2=2b2。因此，b2=2g2，这样，b2是偶数，于是b也是偶数，但是b同时又是个奇数，这就产生了矛盾。

关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”。其证明是用面积来进行的。

如下图，可证

△ABD≌△FBC，

矩形BL=2△ABD，

正方形GB=2△FBC。

于是 矩形BL=正方形GB。

同样有 矩形CL=正方形AK。

所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE。

毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究及其收获由此可见一般。实际上，毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研究；以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式。而毕达哥拉斯定理的发现（关于可公度比与不可公度比的研究、讨论），实际上导致了无理数的发现，尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数，并因此造成了数学史上所谓的第一次数学危机，但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的。

二、我国的勾股定理

在我国，至今可查的有关勾股定理的最早记载，是大约公元前1世纪前后成书的《周髀算经》，其中有一段公元前1千多年前的对话：“昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”

《周髀算经》中还有“陈子测日”的记载：根据勾股定理，周子可以测出日高及日远。例如，当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法是：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者。”

《周髀算经》是我国流传至今的一部最早的数学著作。书中主要讲述了学习数学的方法以及用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。在唐代，《周髀算经》与其他九部陆续出现在我国汉唐两代千余年间的数学著作一起，被国子监算学馆定为课本，后世通称这十本书为《算经十书》。《算经十书》较全面地反映了自先秦至唐初我国的数学成就。其中许多书中都涉及到了勾股定理的内容，尤其《九章算术》（《算经十书》之一）第九章“勾股”专门讲解有关直角三角形的理论，所讨论的主要内容就是勾股定理及其应用。该章共有设问24题，提出22术，其中第6题是有名?

我的的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具--矩。如，《周髀算经》中记载了商高对用矩之道的论述：“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”又如，我国魏晋间杰出的数学家刘徽在他的名著《海岛算经》（《算经十书》之一）中共列出了9个有代表 性的可用矩解决的测望问题，其中第4个问题是：“今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，从勾端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勾端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何。”

我国最早的关于勾股定理的证明，目前人们认为是汉代赵爽对《周髀算经》的注释。见下图（勾股圆方图），图中的四个直角三角形的面积，加上最小的正方形的面积，等于介于大正方形与小正方形之间的那个正方形的面积。

即

，

化简得: a2+b2=c2。

可以看出，我国古代的数学与古希腊的数学不大一样，实际上，我国数学的主要研究对象不是空间形式，而是数量关系；其理论形式不是逻辑演绎体系，而是以题解为中心的算法体系。与古希腊数学采取层层论证的思维方式不同，我国古代数学家的思维方式是以直觉思维为主，又以类比为发现和推论结果的主要手段。

对于勾股定理，我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面作文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究。通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法--勾股术。勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成的勾股的核心。勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础。后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础。

有的专家还提出：勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学。