证明增函数(0<x<1)y=(1+1/x)x+(1+x)1/x.
1、f(x)=(1+1/x)x、f′(x)=f(x)[ln(1+1/x)-1/(1+x)]=f(x)*K(x)>0
2、y=f(x)+f(1/x)、y′=f(x)*K(x)-(1/x2)f(1/x)*K(1/x)>0?(0<x<1)
3、(0<x<1)f(x)>1+x 、f(1/x)<e-(e-2)x 、1/f(1/x)>1/[e-(e-2)x]
f(x)/f(1/x)>(1+x)/[e-(e-2)x]>(?)(1/x2)K(1/x)/K(x)(e≥2.718)
——导数分析法:(1+x)K(x)>[e-(e-2)x](1/x2)K(1/x)(得取两次导数)
——级数分析法:
(1)(1+x)K(x)-[e-(e-2)x](1/x2)K(1/x)
=∑(n=2…∞)(1/n){1+x-xn-2[e-(e-2)x]}/(1+x)n>0?(0<x<1)
(2)n=2:1+x-xn-2[e-(e-2)x]=1-e+(e-1)x<0(0<x<1)
(3)n≥3:1+x-xn-2[e-(e-2)x]>0,证明如下:
——特殊证法:
(0<x<1)只需证明n=3时成立即可:
y=1-(e-1)x+(e-2)x2,对称轴x=(1/2)(e-1)/(e-2)>1,检验成立。
——通用证法:
设 y=xn-2[e-(e-2)x]/(1+x)<1
y′/y=(n-2)/x-(e-2)/[e-(e-2)x]-1/(1+x)>0
x*y′/y=n-2-e/[e-(e-2)x]+1/(1+x)>0
因-e/[e-(e-2)x]与1/(1+x)同为减函数,由x=1解得n≥(3+e)/2、
当e=3或2.718时,n≥3,得证。
(4)∑(n=2…∞)(1/n){1+x-xn-2[e-(e-2)x]}/(1+x)n.
=∑(n=2…m)(1/n){1+x-xn-2[e-(e-2)x]}/(1+x)n+∑(n=(m+1)…∞)(1/n){1+x-xn-2[e-(e-2)x]}/(1+x)n>0(0<x<1、m>2)
(5)只需证明∑(n=2…m)(1/n){1+x-xn-2[e-(e-2)x]}/(1+x)n>0即可
(6)必要条件:x=0时,g(m)=∑(n=2…m)(1/n)>e/2(1.359).
g(5)=1.283、g(6)=1.45、g(7)=1.593。取e=3,得m=7.
(7)代数难题:(?)(5次不等式问题)
∑(n=3……7)(1/n)[1+x-xn-2(3-x)]/(1+x)n-2>1-x(0<x<1)
联系客服