一、三角形的共点定理:
(一)共点分角线定理:
分角正弦同向定比之积=1;
(二)共点分边线定理:
分边同向定比之积=1(塞瓦定理);
(三)共点平截线定理:
平截相似率之和=2;
(四)共点“二分一平”定理:
分边径向定比之和=平截径向定比;
(五)共点“二平一分”定理:
分边定比=邻边平截补率之比;
(六)共点垂截线定理:
隔分边平方和相等,其平方和最小的共点在三角形的外心上。
二、三角形的距离定理:
(一)到三顶点距离和的定理:
1、到三顶点距离和最小的点,在三角形的费马点上。(费马原理证之)
2、费马点:与每边张角=120°的点;当最大内角>120°时,为钝角顶点。
(二)到三边距离和的定理:
1、到三边距离和,最小点在大角顶点上,最大点在小角顶点上。
2、在等腰三角形底边上的点,到两腰距离和=腰上的高。
(点可推广到底边延长线上:与底边点距离同侧,距离取正;异侧,取负。)
3、在等边三角形及内的点,到三边距离和=等边三角形的高。
(点可推广到等边三角形外:与三角形内点距离同侧,距离取正;异侧,取负。)
(三)到三顶点距离平方和的定理:
到顶点距离平方和最小的点,在三角形的重心上。
(四)到三边距离平方和的定理:
到三边距离平方和最小的点,在三角形的共轭重心上;
直角三角形的共轭重心:斜边高线中点。
(五)埃尔德什-莫德尔不等式:
三角形内一点到三顶点距离和≥该点到三边距离和的两倍