埃伦费斯特定理
埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 ，再取趋向于0的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。
使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不相依于时间，则这系统是保守系统。由埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。
保罗·埃伦费斯特。
在量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为[1]
；
其中， 是某个量子算符， 是它的期望值， 是哈密顿算符， 是时间， 是约化普朗克常数。
埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 ，再取趋向于 0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。
假设，一个物理系统的量子态为，则算符的期望值对于时间的导数为
薛定谔方程表明哈密顿算符 与时间的关系为
。
其共轭复数为。
因为哈密顿算符是厄米算符， 。所以，
。
将这三个方程代入 的方程，则可得到
。
所以，埃伦费斯特定理成立：
。
使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。
从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。
思考哈密顿算符 ：
。
假若，哈密顿量显性地不含时间， ，则
，哈密顿量是个常数 。
;
应用埃伦费斯特定理，
。
由于 ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。
这样，可以得到动量 的期望值。
应用埃伦费斯特定理，
。
由于 与自己互相交换，所以， 。又在坐标空间里，动量算符不含时间： 。所以，
。
将泊松括号展开，
。
使用乘法定则，
。
在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 的期望值。
取经典极限[2]， ，则可得到一组完全的量子运动方程：
，
。
这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：
，。
取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 为。设定。泰勒展开于 ：
。
由于 ， ，
。
这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：
1. 一个是量子态对于位置的不可确定性。
2. 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。
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