自旋现象在经典物理学和量子力学中都存在，我们这里着重介绍量子力学中的特点。
在量子力学中，自旋是粒子所具有的内禀性质，其运算规则类似于经典力学的角动量，并因此产生一个磁场。
虽然有时会与经典力学中的自转（例如行星公转时同时进行的自转）相类比，但实际上本质是迥异的。经典概念中的自转，是物体对于其质心的旋转，比如地球每日的自转是顺着一个通过地心的极轴所作的转动。地球自转并不是内在性质。如果地球不转了,它还是地球,但是粒子如果自旋不一样,它就是一个新粒子。
首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由拉尔夫·克罗尼希（英语：Ralph Kronig）、乔治·乌伦贝克与山缪·古德斯密特（英语：Samuel Goudsmit）三人所开创。他们在处理电子的磁场理论时，把电子想象一个带电的球体，自转因而产生磁场。
后来在量子力学中，透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子，所以物体自转无法直接套用到自旋角动量上来，因此仅能将自旋视为一种内禀性质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并且其量值是量子化的，无法被改变（但自旋角动量的指向可以透过操作来改变）。
自旋对原子尺度的系统格外重要，诸如单一原子、质子、电子甚至是光子，都带有正半奇数（1/2、3/2等等）或含零正整数（0、1、2）的自旋；半整数自旋的粒子被称为费米子（如电子），整数的则称为玻色子（如光子）。复合粒子也带有自旋，其由组成粒子（可能是基本粒子）之自旋透过加法所得；例如质子的自旋可以从夸克自旋得到。
自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。每个粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律，p=[J(J+1)]0.5h，此为自旋角动量量子数 ，J ＝ 0，1 ／ 2，1，3／2，……。
自旋为半奇数的粒子称为费米子，服从费米-狄拉克统计；自旋为0或整数的粒子称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计。复合粒子的自旋是其内部各组成部分之间相对轨道角动量和各组成部分自旋的矢量和，即按量子力学中角动量相加法则求和。已发现的粒子中，自旋为整数的，最大自旋为4；自旋为半奇数的，最大自旋为3／2。
自旋是微观粒子的一种性质，没有经典对应，是一种全新的内禀自由度。自旋为半奇数的物质粒子服从泡利不相容原理。
自旋的发现，首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中。于1924年，泡利首先引入他称为是“双值量子自由度”，与最外壳层的电子有关。这使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即没有两个电子可以在同一时间共享相同的量子态。
泡利的“自由度”的物理解释最初是未知的。拉尔夫·克勒尼希，朗德的一位助手，于1925年初提出它是由电子的自转产生的。当泡利听到这个想法时，他予以严厉的批驳，他指出为了产生足够的角动量，电子的假想表面必须以超过光速运动。这将违反相对论。很大程度上由于泡利的批评，克勒尼希决定不发表他的想法。
当年秋天，两个年轻的荷兰物理学家产生了同样的想法，它们是乌伦贝克和撒穆尔·古德施密特。在保罗·埃伦费斯特的建议下，他们以一个小篇幅发表了他们的结果。它得到了正面的反应，特别是在雷沃林·托马斯消除了实验结果与乌伦贝克和古德施密特的（以及克勒尼希未发表的）计算之间的两个矛盾的系数之后。这个矛盾是由于电子指向的切向结构必须纳入计算，附加到它的位置上；以数学语言来说，需要一个纤维丛描述。
切向丛效应是相加性的和相对论性的（比如在c趋近于无限时它消失了）；在没有考虑切向空间朝向时其值只有一半，而且符号相反。因此这个复合效应与后来的相差了一个系数2。
尽管他最初反对这个想法，泡利还是在1927年形式化了自旋理论，运用了埃尔文·薛定谔和沃纳·海森堡发现的现代量子力学理论。他开拓性地使用泡利矩阵作为一个自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数。
泡利的自旋理论是非相对论性的。然而，在1928年，保罗·狄拉克发表了狄拉克方程，描述了相对论性的电子。在狄拉克方程中，一个四元旋量（所谓的“狄拉克旋量”）被用于电子波函数。在1940年，泡利证明了“自旋统计定理”，它表述了费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。
对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（即使使用最保守估计的电子半径，电子“赤道”处的速度也需要超光速才能解释其自旋角动量）。由于这些不可再分的基本粒子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样，是基本粒子的内禀性质。
在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其值只能为：
其中h{displaystyle hbar }是约化普朗克常数，而自旋量子数是整数或者半整数（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子数取值只能为整数。自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类【费米子和玻色子】，无法用现有的手段去改变其取值。
例如，所有电子具有{displaystyle s=1/2}的1/2自旋，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，光子是自旋为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比较特殊，它的自旋为0。
对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒子的自旋角动量和轨道角动量的总和。亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量子化条件。
通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如，质子是自旋为1/2的粒子，可以理解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动量和轨道角动量的结构决定。
利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如，尽管我们知道质子是自旋为1/2的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域。
原子和分子的自旋是原子或分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和分子具有顺磁性。
粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循费米-狄拉克统计，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态，这种性质要求费米子不能占据相同的量子态，这被称为泡利不相容原理。
另一方面，具有整数自旋的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计，称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子态，因此可以占据相同的量子态。对此的证明称为自旋统计定理，依据的是量子力学以及狭义相对论。事实上，自旋与统计的联系是狭义相对论的一个重要结论。
具有自旋的粒子具有磁偶极矩，就如同经典电动力学中转动的带电物体。磁矩可以通过多种实验手段观察，例如，在施特恩-格拉赫实验中受到不均匀磁场的偏转，或者测量粒子自身产生的磁场。
自旋这一特性无法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是不能认为自旋是像陀螺一样的自转运动，因为轨道角动量只能导致s取整数值。电子一般情况下可以不考虑相对论效应，光子必须采用相对论来处理，而用来描述这些粒子的麦克斯韦方程组，也是满足相对论关系的。
数学方面的论述是这样的：自旋—— 常被称为总角动量 —— 指的是粒子（基本或复合）在质心参考系下的角动量：
三个方向的角动量算符生成一个李代数
：
。 显然这三个算符是不互相两两对易的，因此，根据广义的不确定关系，我们无法同时得到三个方向的角动量的值（本征值）。 但退一步发现，
，换句话说，我们可以同时知道总角动量与其任一分量的本征值，不妨将这一分量选为
。 其本征值方程为，
这里J
叫做本征态
的自旋，
叫做自旋的投影。
数学家告诉我们，自旋
的取值是离散化的，只能取
的非负的整数或半整数倍，所以只有自旋为 0、1/2、1、3/2……的粒子，没有自旋为2.314
的粒子；而同样地，
的取值也是离散化的。
泡利不相容原理非常重要，例如，化学家和生物学家常用的元素周期表就是遵循泡利不相容原理制订的。
看了这么长的介绍，你有什么要说的？ 其实我想说的是，在“自旋”这个词的面前，你有再好的想象力也不够。
现在所有关于自旋的数学性描述，其实算不上是严谨的。该如何形象的理解自旋，上面的介绍显然太官方。我这样解释一下，大家跟着理解一下。
实验指出微观粒子具有额外自由度，并且这个自由度是离散化的，可以参考斯特恩-盖拉赫实验。接下来面对实验结果的处理方式只有两种，一种从唯象的角度统统接受，建立唯象理论笼统描述；一种是从原理出发从头推导，建立一个更加普适基本的理论。
实际上的结果就是，自旋这个东西，就是唯象描述。跟量子化后的角动量长得一模一样，还没法解释其出现的原因。就是说我们把实验观察到的粒子的这种额外离散自由度，叫自旋。
对于自旋的普适理论，则需要用到相对论量子力学中学习狄拉克方程和克莱因-高登方程时才能得到初步解释。在相对论量子力学中，采用四个坐标作为波函数的坐标，空间-时间，建立波函数的运动方程。
克莱因-高登方程可以直接从相对论的能动量关系中得到，最后可以计算出满足克莱因-高登运动方程的粒子，具有0自旋。同样的，狄拉克方程则指出其粒子具有1/2自旋。从狄拉克方程就可以看出，1/2自旋这个东西，是将四维坐标变换约化为三维空间坐标的平移和转动时自然出现的。对于自旋为1的粒子，则满足麦克斯韦方程。
所以大家在理解自旋的时刻，不要想着它是简单的转动。无论是自转，还是围绕轴心转动，都是不恰当的。
更准确的应该理解为具有离散性质的场的运动，是有方向性的场的运动。
还有一点大家应该有这样的联想——自旋是内秉属性，与生育来。相同的与生俱来的属性，还有引力，惯性。 总结起来就是物质的与生俱来的属性。
一个宏观的表现，一个是围观的表现，我之所以将他们写在一块，是一定要大家去联想的。这种的偶然不是偶然，他们肯定有一定的联系。
我在《变化》中将引力的本源定义为时空！引力量子化的描述，就和宏观和量子系统衔接的过程。任何物质，粒子都是运动的的物质，粒子自旋这种与生俱来的性质，角动量能量不排除来自于时空“扰动”，这就是我要给大家的启发。 其大无外，其小无内的深刻内涵，也正在于此。
其实你仔细去想，世界上什么东西最大，什么东西最小。什么叫其大无外？就是没有边际的大！ 什么叫其小无内？就是没有边际的小！ 都是没有边际的的东西，谁大谁小？ 看似矛盾，看似诡异，却正透露者这个世界的深刻。
透过大来看小，透过小来看大，这样的思维要有。即透过引力看量子世界的粒子；透过量子世界的粒子来看引力。透过时空的运动，来看粒子世界的运动；透过粒子世界的运动，来看宇宙的运动。他们有联系，但我们要知道是如何联系的。
通过爱氏的场方程，我们知道了宇宙是非线性波动的系统。如果是两者是相切合的系统，那么量子世界的系统也是非线性波动系统。线性是特殊的，非线性才是普遍的。物质与物质的交互，场与场的交互，遵从的统计规律，都在离散性质的波动状态中实现。也就是说只有具体的物质间的交互，场与场的交互中统计概率得以成立。
什么叫概率，概念就是可能性。可是这种概率性高得离谱的时候，你就要相信这是一种几乎不可逆的性质。而具有这种的性质的往往不是个体，而是系统。即不能说一个粒子遵从泡利不相容原理，是一类粒子遵从泡利不相容原理。
同样，不是一个粒子自旋，是所有的粒子都自旋。不是一个粒子遵从狄拉克或者玻色-玻色爱因斯坦统计，而是一类粒子遵从这样的概率统计。
事实上，我们一直在做关于宏观和量子世界的衔接探索，那就是“大统一”理论。这种理论方向的正确性，我从不怀疑，爱氏的思路是正确的。
好了，今天关于粒子自旋的理论和启发性认识，就写到这里。后面我们还会介绍更多的知识，我们甚至会返回来，再去解读解读过的内容。如果我那样做了，那证明我有新的想法，新的改变。
摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者量子力学科普作品《见微知著》
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