一、为什么要做以大概念为本的
数学主题教育（Why）
（一）数学文化融合和重构是当代的需要和未来的要求
面临百年之大变局的冲击，为了更好的应对未来世界的不确定性，需要我们充分了解中西数学文化的差异，明确我们的数学文化中的优势和不足，了解、学习、模仿其他文明的数学文化的优势，在继承本文化的数学基因的同时，理解其他文化中的数学基因，通过探究各自其背后的数学思维，选择优质数学文化进行传承，尊重其选择，在选择中体现文化认同，鼓励对不同数学思想和文化的融合和、改良和创新，不问西东，实现跨文化、跨时代的优秀数学文化、思想的交融，甚至重构，进一步推动数学的发展，实现对新的数学思想和观念的输出，为适应未来之变局奠定更扎实的基础。
（二）优化数学学习的评价机制和引导正确的数学学习态度和价值观是刚需
知识爆炸的当下和未来，知识改变命运的老话已经逐渐失去效用，未来的世界更需要拥有大概念或大观念的人来解决不确定性的问题。
审视高强压的应试训练，其一，对学生在大观念和大概念的形成上帮助甚微；其二，让家长和学生产生数学学得好的评判标准就是得高分的观念，这种评价观念逐渐形成了一种社会观；其三，在态度和价值观念上，学生对待数学学习逐渐失去了好奇心和探究欲，可能让真正数学能力优秀的孩子对数学学习产生负面情绪从而放弃继续在数学专业领域提供价值，这些情况对民族和国家的数学长期发展而言都是值得深思的。
（三）提高教学效率和品质，深刻理解双减的内涵和要求
大概念教学的实施要求设计者对内容进行主题化整合，即内容综合化、结构化（图1），不仅是素养落地的内容支柱，还提高了教学效率，符合国家希望通过双减政策对学校、对课程设计者、实施者所传达的课程建设的价值导向（参考图2）。
图1-超学科概念（红）、跨学科概念（蓝）、学科概念（绿）类比示意图
图2- 大概念教学在义教课表修订的内在逻辑网络中的连系和起到的作用
二、如何设计以大概念为本的
数学主题教育
（一）内容-主题体系和能力-素养体系的建构——Pattern主题为例
1. 内容-主题体系
2. 能力-素养体系
（二）方法和策略——以HPM为例
1. 什么是HPM
HPM是数学史与数学教育的简称（History and pedagogy of Mathematics），是数学教育的一个研究领域，课题包括：关于“为何（why）”和“如何（how）”的探讨、教育取向的数学史，历史相似性、数学史融入数学教学的实践、HPM与教师专业发展、数学史融入数学教材等等。
HPM的研究，将教学引向更高的层次（参考图3-数学史的三个阶段），要求课程的设计者和实施者要用数学史内容揭示相关的数学内涵，营造数学文化氛围，并与学生对的数学认知规律密切联系，使之有利于学生对数学内容的理解，以学生喜闻乐见的形式呈现绚丽多彩的数学历史文化，在严谨的数学逻辑体系里投射出人文精神的光芒。
图3-数学史的三个阶段
2. 为什么要利用HPM进行参考设计
（1）科学性。从建构主义来看，较好的学习方式一定包含了“重新发明数学”，这也是我目前认为较好的落地学生专家思维或核心素养的方式。学生需要真实地经历数学的发现和发明，参与数学发展和进步的过程，思考数学家所面临的问题和挑战，才能真正养成专家思维和能力，才有可能地站在巨人的肩膀上进行融合、改良和创新。学生们不应该认为所有的数学答案都能够从书本中找到，而是应该积极地参与对各种概念和关系的探究，否则而无法真正热爱数学，成为有灵魂的数学家，HPM 提供了这样的机会。
（2）可预见性。从儿童成长和认知规律上来讲，正如汪晓勤教授所言，儿童发现和学习数学所会遇到的问题和疑惑 都会像历史一样重现，我们能够通过 HPM 更高效的预知学生所会遇到的困难和思考点，不仅提高课堂教学效果和效率，还符合大概念教学的“真实性”要求又遵循了儿童认知发展的规律，为教学提供了丰富可靠的研究素材。
（3）工具性和启发性。
①是有效提炼和落地相关概念和大概念的重要参考对象。当我们在准备一个新的主题或大单元时，可以搜集和整理在不同阶段不同的数学家对待该知识点或主题的观点和看法。例如：
“计算是为了获得洞见，而不是获得那些数字的计算结果。”—— 美国数学家理查德·卫斯里·汉明（1915~1998）
一个不擅于计算的人，有可能成为一个第一流的数学家，而一个没有丝毫数学观念的人，充其量只能成为一个计算家。—— 哈登伯格
一种好的符号使头脑摆脱不必要的负担和约束，使思想集中于新的问题；这就事实上增加了人脑的能力。——Ａ.Ｈ.Ｗhitehead
由于大量的数学符号，往往使得数学被认为是一门难懂而又神秘的科学。当然，如果我们不了解符号的含义，那就什么也不知道。而且对于一个符号，如果我们只是一知半解地使用它，也无法掌握和运用自如的。——英国数学家Ａ.Ｈ.Ｗhitehead
我们希望的是学生能够理解计算对于推动数学的发展和改变世界所产生的意义和价值，而不是让他们单纯成为灵活的计算的机器。我们还从学科角度出发让学生思考跨学科的问题，以促进大概念的发生：如何进行用数学语言对世界进行表达（模型model、符号化symbolize，数字化digitize），如何体现符号化的艺术（简化simplify，美学aesthetics，形式form）以及“我们为什么在发明计算机后还要学习计算？”（指向能力培养的逻辑） 。让学生在精心设计的教学过程中理解这些大概念，并能迁移到后面的学习和生活场景中去。
②是情景化设计的重要抓手。大概念教学的本质强调的是“真实性”，HPM 无疑是最符合要求的，真实的历史，真实的情景，真实的疑惑，真实的难题，真实的思考路径，可借鉴的真实的能力培养模式，这为让孩子们经历“重新发明数学”提供了得天独厚的背景资料，为教师创作课程提供了丰富的资源。
③是实现学科整合（多学科、跨学科、超学科）的重要参考依据及研究对象。当下的双减政策和热门的课程及学习方式都在倡导跨学科融合教学，而HPM恰好为以数学为主导的跨学科融合设计上提供了参考。分科教学是工业社会发展后的产物，而在之前的历史中，数学的教学与其他学科的关系是天然相关的，例如与哲学、天文学、地理、经济学、科学等学科是紧密相连的，这样的学科融合无疑是可验证、可操作的。但值得提醒的是，依然鼓励老师们根据实际情况进行一个合理的学科交叉的新尝试。
三、深刻理解以大概念为本的
主题教育的价值和内涵（What）
（一）什么是以大概念为本的主题教学（definition）
1.定义、特征属性和描述
（1）相关同位词：思想（表达）、观点、原理、观念、一般法则
（2）属性和特征：超越性、抽象性、简明性、表达案例间的共同属性，高关联性
（3）重要描述及专家观点
一个概念即是一个“重要思想观点”：一种经久不变的原理或观念，其重要意义超越特 殊的起源、主旨或时空。——Wiggins and McTighe 1998)。
（4）区别与联系
与事实、知识的区别与联系。知识=事实=知道，概念=重要的思想观点=理解。
与事实、知识及技能在结构上的连系（参考图1—2）。
图1-二维课程模式和三维课程模式结构图
图2-三维课程模式结构图之作者视角的理解
这样的大概念，体现为高阶的思维和观念，迁移性强且能统领更多知识和事实，同时也有利于高阶能力和素养的培育。
2. 功能——Capacity Training（是培养高阶能力的重要载体）
（1）以批判性思维为例
为什么说大概念是天然地培养批判性思维的好载体呢，因为大概念本身的特性就是多定义、多维度，多领域，多重叠的关注点，要理解它就自然地要求了学生需要训练切换领域，多视角、多维度地观察、思考、共情及解决问题，这就为批判性思维的养成提供了绝佳的机会。
（2）以概念性思维能力为例——不断让智力协同效应发生（Erickson2007）
为什么说大概念是培养概念性思维能力的好载体呢？这是因为指向对核心素养和高阶能力形成的深度思考也是形成大概念理解的基本要求和必经过程。
为了更好的适应未来的不确定性，各个国家和国际组织纷纷提出满足未来胜任的素养或能力模型。要让学生指向高阶素养的形成的深度思考真正的发生，就需要他们把事实与概念以及最重要的概念性理解联系起来，使学生在两个层面上——事实层面和概念层面——发展智力，通过这样的深度思考，才能形成对更高层面的思想和底层逻辑的深度理解，这样的理解，也同样是形成大概念的理解所要求的。
另外用这样的方式学习，会给学生带来观念（价值观、世界观）的改变和认知上的升级，从内而外地影响其看待和思考世界的逻辑，从而改变其行为。
（二）以大概念为本的数学主题教学的优势（strength）
1.利于智力协同效应的发生。对关于事实的知识进行更深层次的智力处理，因为他们要把事实与概念以及最重要的概念性理解联系起来；这种协同思考（对事实的思考和对概念的思考相互影响）使学生在两个层面上——事实层面和概念层面——发展智力，使他们对关于事实的知识记得更牢固，因为协同思考需要完成更深刻的心理过程。
2.利于知识结构化、体系化及跨时代和跨文化的文化融合。创建学习的个人相关性，因为学生要在新旧知识之间建立联系，并通过知识转移鼓励在全球背景中理解各种文化和环境。
3.提升学生的学习内驱力。把他们个人的聪明才智应用于学习，因为学生要利用重大概念从个人的角度关注教学单元的主题，从而提高学习的积极主动性。
4.提高语言的流利程度（语言能力）。因为学生要利用关于事实的信息来解释和支持他们对概念更为深刻的理解。这个过程中可能还会涉及到信息的收集（渠道和多样性）、整理（结构化和可信度分级）和信息的有效提取等的研究技能，以及双语的转换和表达技能。
5.有利于对高阶能力的培育和深度学习的发生。在更高层次上进行批判性思考、创造性思考和概念性思考，因为学生要分析复杂的全球性挑战，例如气候变化、国际争端和全球经济，并通过学习具体学科的相关概念，产生更有深度的学科理解。
参考资源
1.于泽元-《核心素养落地的三个支柱——义务课标修订的内在逻辑与学理基础》
2.乐勇-《中国形象国际传播参与者的角度和跨文化理解》
3.杨昌义-《中国特色国际理解教育理念与实践》
4.汪晓勤-《HPM：数学史与数学教育》
5.夏仕军-《计算的艺术》
6.IB文件-MYP 中学项目：从原则到实践
7.IB文件-PYP 制定跨学科探究计划
8. 林恩·埃里克森&洛伊斯·兰宁-《How to Bring Content and Process Together》
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