向你介绍我是谁
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大家好，我是杭州市胜蓝实验小学的张伟明，是朱乐平名师工作站“一课研究”第二十九组的学员，很荣幸在“一课研究”微信平台中与您相遇。
本期内容有哪些
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听一听：小数的意义教学思考
读一读：小数的意义教学例谈
想一想：趣味数学——燃绳计时
轻轻松松听听书
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（一）以“整体”为入口，
表征小数
张奠宙教授认为：“引进小数是为了表示小于‘单位1’的量，除0之外，自然数中最小的是1，所以自然数不能表示小于1的量。小数是分母为10，100，1000……的一类特殊分数。小数十进制位值原则记数法，满十进一，但分数不是。”因此做为均分标准的“1”对于认识小数及其意义有着至关重要的作用。而对于这个“1”的理解，以及对“1”充分理解后的表征则是走向小数意义的第一步。
因此笔者认为应充分利用学生的生活经历和已有认知，激活相关经验和相关知识基础，引导学生在多次表述中感悟小数的意义，同时辅以面积、线段、数轴等模型多元感知“1”，为抽象出数理意义的“0.1”奠定基础。譬如在抽象与表征0.1时，教师是这样开展教学的：
片段1：
师：老师这里有一个小数，请你大声读一读，说说0.1它具体可以表示什么？
生：0.1元、米、吨……
师：0.1元是什么意思呢？
生：0.1元就是1元的十分之一，是1角。
师：如果正方形就表示了1元，那么0.1元大概有多大？
生：大概是整个正方形的 十分之一。
师：分一分、涂一涂，表示出你心中的0.1元。
在交流完学生0.1元的不同表征后，教师同时呈现学生的三种表征。
师：这些图形形状、大小都不一样，为什么涂色部分都可以用0.1表示呢？
生：我们都是把它们平均分成10份，表示了其中的一份，那就是它的，也就是0.1。
教师先引导学生自主说一说0.1具体可以表示什么，给予学生充分的时间与空间。接着共同探讨生活经验中熟悉的0.1元，为数学与生活架构了桥梁。同时通过不同的整体（正方形、长方形、线段）下0.1的对比，探寻0.1的共同特征即都是“1”的“1/10”，抽象出数学意义上的0.1，让具象的0.1元转变成了抽象的数0.1，奠定基础从而为感知小数的本质意义，建立小数与整体分数的联系奠定了重要的基础。在这些模型的堆叠、运用、建构中，图、数学结构、现实生活情境，通过生活语言、图示语言和数学语言的相互转化，小数的内涵进一步丰富。
（二）以“数数”为突破，
展现过程
华罗庚曾说：“数（shù）源于数（shǔ）。”数（shù）的本质其实是数（shǔ），而数（shǔ）的本质在于计数单位，如整数，我们可以一个一个数，十个十个数，百个百个数，个十百就是计数单位。小数和分数亦是如此，通过数数，展开教学，在序列增加或减少的数数中，凸显计数单位，培养数感，丰富学生数概念，让小数与整数、分数的关系自然求联。
因此笔者认为在教学中应关注作为计数单位的0.1及0.01的认识，把小数的意义和对小数的建构建立在数计数单位上来。在表征出0.1后，可以借助于数数巩固对0.1的认识，如在面积模型中从0.4开始数直到整数1，进而验证10个0.1是1，建立“1”与0.1在形上的联系。
而在本课的难点两位小数的突破上，仍然是以数数为基，在创设了猜猜老师的身高是几米的情境后，具体施教过程如下：
片段2：
师：老师的准确身高啊，比1.7米要大，你猜是多少？
生：1.75米。
师：1.75米？你说的是什么意思？
生：1米75厘米。
生：1.72米。
师：猜对了，你真厉害！1.72,我们来表示表示。
教师示范，直接加0.1得到1.8。
师：这样行不行？那怎么办？
生：这样都是0.1,0.1的增加或减少，我觉得应该把0.1继续平均分。
学生独立尝试后，展示学生不同层次的表达，将1平均分成100份，将1条平均分成10份。
师：仔细观察这两幅图，为什么都表示1.72米？
生：都是平均分成了100份，表示了其中的72份。
师：怎么看出了都平均分成了100份？
生：先把一个正方形平均分成了10份，然后再把每一小份都平均分成了10份，10个10份是100份。
师：你们的意思是说，将第8条平均分成10份，就等于把这个正方形平均分成了100份，一份是0.01，表示了一百分之一。
涂了72份，所以0.72就是表示什么意思？
图中的空白部分呢？你是怎么想的？
生：0.28，100格少了72格是28格，也就是28个0.01是，也就是0.28。
师：崔老师比张老师高了0.05米，应该怎么表示呢？
生：一格是0.01，0.05就是5格，所以应该就是往下数五格。
师：想象一下有多高，你能给大家介绍一下这个小数吗？
生：1米77厘米；177厘米；1个1米，7个0.1米，7个0.01米……
师：对的，那我们继续数（1.79增加0.01）现在呢？说说你是怎么想的？
生：1.8或1.80。
师：这下有意思了，为什么你们说1.8对，1.80也对？
生：0.8是把1平均分成10份，表示其中的8份，0.80是把1平均分成100份，表示其中的80份，表示的东西都是一样多的。
引导学生在逐步逼近教师身高的情境中，自然突破对两位小数的认知。在身高数0.01，0.01的增加中深刻认识两位小数的计数单位是0.01，在数到相同的数1.77时感知一位小数与两位小数的区别，在数到1.80时体会一位小数与两位小数的联系，在讨论、比较、思考一位小数与两位小数的联系与区别中逐渐明晰它们的本质。数数这一教学内容的实施，为帮助学生激活已有的整数学习经验，并通过迁移、类推到小数这一新内容上来，有效解决学生的实际困惑，进而推理产生三位小数乃至多位小数，建构起小数体系夯实了基础。学生在数数中所经历的十等分、百等分及计数单位累加的过程，深化了小数意义的认知，形成对计数单位、数位等抽象意义更深刻的、个性化的认识和理解。
（三）以“分割”为深化，
促进内化
英国沃瑞克大学的韬儿教授等人分析，数概念是一个典型过程性概念，也就是说它既是过程，又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使得学生在具体操作的基础上，通过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入已有的认知结构。对于数概念的形成也应遵循数概念的形成过程。即帮助学生无限分割中逐步建立小数概念，体会小数因测量、分物、计算而产生需要，深度理解小数稠密性，从而促进自身的认知，提升数学思维。
在前文片段2学生比较了1.8和1.80并认为两个小数表示的大小相同时，教师提问：“那什么时候用一位小数表示，什么时候用两位小数呢？”引导学生思考小数产生其实质是整数不够表示。学生在回顾整个教学过程中发现：当整数不够表示时，把整数平均分成十份，每一份是0.1，于是就产生了一位小数，当一位小数不够表示时，就把0.1平均分成十份，每份就是0.01，于是就产生了两位小数。多位小数亦是如此。小数的学习在学生的推理中豁然开朗。在计数单位的呈现上，教师是这样来施教的。
片段3：
师：同学们，0.1，0.01，0.001这样的小数我们把它们叫做小数的计数单位,请仔细观察这些计数单位，你有什么发现吗？
生：每相邻两个计数单位之间的进率是10。
师：你真善于观察总结,给他鼓鼓掌!看！几个0.001就是0.01？几个0.01就是0.1,几个0.1就是1？我们以前还学过整数的计数单位,还记得吗？
生：1里面有10个0.1,0.1里面有10个0.01,0.01里面有10个0.001；10个1是10,10个10 是100，10个100是1000。
师：我们一起来回忆一下,看!把这些计数单位都放在一起就更清楚了!
借助面积等模型的十等分再十等分，让学生不断感受细分的过程，逐渐体会两个小数之间还存在着无数个小数。这样的分割操作其实贯穿了全课。学生在不断的分一分、画一画、说一说、数一数等活动中发现小数产生的实际需要，体会具体到抽象的理解过程，从而刻画出小数的稠密性。在这样的学习活动中，学生对于整数、分数自然进行了联系，而数数又很好的弥补了学生意义概念上的缺失，指向于学生对于数的本质理解，打破了学生原有的数的体系，丰富了数系的内涵，而更为关键的是学生习得数产生的基本活动经验，为后续新的数的学习埋下了种子。
（四）以“文化”厚实，
培育素养
《数学课程标准2011版》指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”可见，数学、文化、素养本身就可以进行有机结合。一节好的数学课给予学生的绝不是单纯的数学知识，适时适度地渗透数学文化，让学生亲历数学文化的发展，欣赏数学文化的智慧，是提升数学素养的有效途径。在数学的课堂里，以文化人，用文化来培育人，让素养得以真正发生，是《小数意义》这一课所期望达成的另一高度。
在前文片段3学生抽象推理出计数单位后，感受到小数的稠密性后，教师引用了刘徽在《九章算术》中的一段话“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细……”让学生品味历史，感受文化，感悟小数的本质。在课的最后，教师设计了一条0-1的数轴，让学生来猜数。
片段4：
师：老师心里想了一个小数，想不想知道它是多少？它比0.6大。
生：可能是0.7、0.8、0.9…
师：它又比0.8小。
生：0.7
师：你们确定吗？
生：不对还有很多种可能。
师：你的意思是？
生：可以把0.1平均10份，100份，1000份。。。
师：是的，在0.6到0.8之间还有非常非常多的数呢！再给你们一点提示，这是一个三位小数，它的前两位是0.61。那你觉得这个数会是多少呢？
生：0.611、0.612……
师：对，这个数就0.618，知道该怎么在数轴上表示吗？
生：把0.61和0.62平均分成10份，找到其中的8份，就是0.618.
师：关于0.618，你知道些什么？
生：略
师：0.618也叫黄金分割率，这个小数有神奇的魔力，例如人的肚脐位于身长的0.618处；咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处等等，更多内容请同学们上网搜索相关内容。
让学生数线的无限逼近中实现对小数意义的深度抽象，推理出数轴上的点是稠密的，并且是连续的，任意两个无限接近的点之间的线段仍然可以不断地细分，从而继续产生无数个点的特性，与此对应小数也是无穷无尽的，从而建构起对小数本质意义的理解。在数学素养诸如抽象、推理、建模等落地的同时，更为关键的是学生在0.618这个古老分割率上得到了文化上的一点点培育。
本文的部分观点发表于《小学数学教学月刊》201903期《数与源于数，意义始于表征—基于前测定位下“小数意义”一课教学思考》
趣味数学——燃绳计时
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燃绳计时
一根绳子，从一端开始燃烧，烧完需要1小时。现在你需要在不看表的情况下，仅借助这根绳子和一盒火柴测量出半小时的时间。
你可能认为这很容易，你只要在绳子中间做个标记，然后测量出这根绳子燃烧完一半所用的时间就行了。然而不幸的是，这根绳子并不均匀，有些地方比较粗，有些地方却很细，因此这根绳子不同地方的燃烧率不同。也许其中一半绳子燃烧完仅需5分钟，而另一半燃烧完却需要55分钟。
面对这种情况，似乎想利用上面的绳子准确测出30分钟时间根本不可能，但是事实并非如此，你知道怎样可以准确测出30分钟吗？
答案：同时从绳子的两头一起点火
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：徐大彬 彭应奎
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