45-171125-19参考答案(相似）

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问：

题目：

如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90∘，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H.

(1)试猜想线段AE和BD之间的关系，并说明理由；

(2)若AC=3,BC=2√,∠ACB=135∘.

①求CG:CE的值；②求AB的长。

考点：

[相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质, 勾股定理, 等腰直角三角形]

分析：

（1）由于条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．
（2）①由∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，可求得∠DCE=45°，又由△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，易证得CD∥BE，则可证得△CDG∽△EBG，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CG：CE的值；
②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，由∠ACB=135°，即可得△BCK是等腰直角三角形，则可求得BK与CK的长，然后由勾股定理求得AB的长．

解答：

(1)猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90∘，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC=CD，CE=CB，

在△ACE与△DCB中，

∵⎧⎩⎨⎪⎪AC=DC∠ACE=∠DCBEC=BC，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD，

∠CAE=∠CDB；

∵∠AFC=∠DFH,∠FAC+∠AFC=90∘，

∴∠DHF=∠ACD=90∘，

∴AE⊥BD.

故线段AE和BD的数量是相等，位置是垂直关系。

(2)①∵∠ACD=∠BCE=90∘,∠ACB=135∘，

∴∠DCE=45∘，

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,AC=3,BC=2√，

∴∠BEC=45∘,CD=AC=3,BE=2√BC=2，

∴∠DCE=∠BEC，

∴CD∥BE，

∴△CDG∽△EBG，

∴CGEG=CDBE=32，

∴CG:CE=3:5;

②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，

∵∠ACB=135∘，

∴∠BCK=45∘，

∴CK=BK=BC⋅sin45∘=2√×2√2=1，

∴AK=AC+CK=3+1=4，

在Rt△ABK中,AB=AK2+BK2−−−−−−−−−√=17−−√.