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高中数学:导数在一元不等式中的应用
太行森林
>《教育》
2020.09.28
关注
导数是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。
例
1.
已知
x
∈(
0
,
),
求证
:sinx
<
x
<
tanx
。
证明;构造函数
f(x)=x
-
sinx
,
g(x)=tanx
-
x
,
x
∈(
0
,
),
则
f'(x)=1
-
cosx
>
0
,
g'(x)=sec
2
x
-
1
>
0
。
所以
f(x)
,
g(x)
在(
0
,
)内是单调递增函数,故
f(x)
>
f(0)=0
,
g(x)
>
g(0)=0
,
即
x
>
sinx
,
tanx
>
x
,
故
sinx
<
x
<
tanx
。
这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数,利用函数的单调性来证明,简单、快捷。
例
2.
已知
m
,
n
为正整数,且
1
<
m
<
n
。求证:(
1 m
)
n
>
(1 n)
m
。
分析:将待证不等式两边取对数,得
nln(1 m)
>
mln(1 n)
,即证明
成立即可。
证明:构造函数
f(x)=
,求导,得
,所以
f(x)
在[
2
,
∞)上是减函数。由
2
≤
m
<
n
知
f(m)
>
f(n)
,
即
,
nln(1 m)
>
mln(1 n)
,
所以
ln(1 m)
n
>
ln(1 n)
n
,即(
1 m
)
n
>
(1 n)
m
。
例
3.
已知函数
f(x)=x(x
-
a)(x
-
b)
,其中
0
<
a
<
b
,设
f(x)
在
x=s
及
x=t
取到极值,其中
s
<
t
,求证:
0
<
s
<
a
<
t
<
b
。
证明:易求得
f'(x)=3x
2
-
2(a b)x ab
。由
f(x)
在
x=s
及
x=t
取到极值,知
s
,
t
是二次方程
f'(x)=0
的两实根,
又
f'(0)=ab
>
0
,
f'(a)=a
2
-
ab=a(a
-
b)
<
0,
f'(b)=b
2
-
ab=b(b
-
a)
>
0,
即
f'(x)=0
在区间(
0
,
a
)与(
a
,
b
)内分别有一个实根。由
s
<
t
及
s
,得二次方程
f(x')=0
的两实根,得
0
<
s
<
a
<
t
<
b
。
以上是用导数次三次函数“降次”转化为研究二次方程在(
0
,
a
)与(
a
,
b
)存在实根的问题,结合实根分布理论,运用数形结合的思想,实现了不等式的证明。
例
4.
设函数
f(x)=ln(1 x)-x
,
g(x)=xlnx
,
0
<
a
<
b
,
证明:
0
<
g(a) g(b)
-
2g(
)
<
(b
-
a)ln2
。
证明:由
g(x)=xlnx
,得
g'(x)=lnx 1
。构造函数
F
(
x
)
=g(a) g(x)-2g(
)
,则
F'(x)=g'(x)-2[g(
)]'=lnx-ln
。
当
0
<
x
<
a
时,
F'(x)
<
0
,所以
F(x)
在
(0
,
a)
内为减函数。当
x
>
a
时,
F'(x)
>
0
,所以
F
(
x
)在
(a
,
∞
)
上为增函数。于是当
x=a
时,
F
(
x
)有极小值
F
(
a
)。因为
F
(
a
)
=0
,
b
>
a
,所以
F
(
b
)>
0
,
即
0
<
g(a) g(b)-2g(
)
。
设
G
(
x
)
=F(x)-(x-a)ln2
,则
G'(x)=lnx-ln
=lnx-ln(a x)
。
当
x
>
0
时,
G'(x)
<
0
,所以
G
(
x
)在
(0
,
∞
)
上为减函数。因为
G
(
a
)
=0
,所以
G
(
b
)<
0
,即
g(a) g(b)-2g(
)
<
(b-a)ln2
。综上所述,
0
<
g(a) g(b)-2g
<
(b-a)ln2
。
用导数证明不等式,关键在于构造函数,然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性,再利用单调性得到所证明的不等式。
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