高中数学：用导数证明不等式

用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。

例1、已知x∈（0，

），

求证：sinx＜x＜tanx。

证明：构造函数

f(x)=x－sinx，

g(x)=tanx－x， x∈（0，

），

则f'(x)=1－cosx＞0，

g'(x)=sec²x－1＞0。

所以f(x)，g(x)在（0，

）内是单调递增函数，故f(x) ＞f(0)=0，g(x) ＞g(0)=0，

即x＞sinx，tanx＞x，

故sinx＜x＜tanx。

例2、已知m，n为正整数，且1＜m＜n。求证：（1+m）ⁿ＞(1+n)^m。

分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m) ＞mln(1+n)，即证明

成立即可。

证明：构造函数

f(x)=

，求导，得

，所以f(x)在［2，+∞）上是减函数。由2≤m＜n知f(m) ＞f(n)，

即

，

nln(1+m) ＞mln(1+n)，

所以ln(1+m)ⁿ＞ln(1+n)ⁿ，即（1+m）ⁿ＞(1+n)^m。

例3、已知函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b，设f(x)在x=s及x=t取到极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b。

证明：易求得

f'(x)=3x²－2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f'(x)=0的两实根，

又f'(0)=ab＞0，

f'(a)=a²－ab=a(a－b) ＜0,

f'(b)=b²－ab=b(b－a) ＞0,即f'(x)=0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根。由s＜t及s，得二次方程f(x')=0的两实根，得0＜s＜a＜t＜b。

例4、设函数f(x)=ln(1+x)-x，

g(x)=xlnx，0＜a＜b，

证明：0＜g(a)+g(b)－2g(

)＜(b－a)ln2。

证明：由g(x)=xlnx，得g'(x)=lnx+1。构造函数F（x）=g(a)+ g(x)-2g(

)，则F'(x)=g'(x)-2[g(

)]'=lnx-ln

。

当0＜x＜a时，F'(x) ＜0，所以F(x)在(0，a)内为减函数。当x＞a时，F'(x) ＞0，所以F（x）在(a，+∞)上为增函数。于是当x=a时，F（x）有极小值F（a）。因为F（a）=0，b＞a，所以F（b）＞0，

即0＜g(a)+g(b)-2g(

)。

设G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-ln

=lnx-ln(a+x)。

当x＞0时，G'(x) ＜0，所以G（x）在 (0，+∞)上为减函数。因为G（a）=0，所以G（b）＜0，即g(a)+g(b)-2g(

)＜(b-a)ln2。综上所述，0＜g(a)+g(b)-2g

＜(b-a)ln2。