函数的图像变换以及对称性

1、平移变换 

函数y ＝f（x）的图像向右平移a个单位得到函数y ＝ f（x - a）的图像；向上平移b个单位得到函数y＝f（x）+ b  的图像；左平移a个单位得到函数y ＝ f（x + a）的图像；向下平移b个单位得到函数y＝f（x）- b  的图像（a，b＞0）。

2、伸缩变换

函数  y ＝f（x）的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍（0＜k＜1时，缩；k＞1时，伸）得到函数 y ＝ kf（x）的图像；

函数  y ＝f（x）的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍（0＜k＜1时，伸；k＞1时，缩）得到函数y ＝f（k x）的图像 （k＞0，且 k ≠1）。

3、对称变换

（1）函数y ＝f（x）的图象关于y轴对称的图像为 y＝f（－x）；

关于x轴对称的图像为y＝－f（x）；关于原点对称的图像为y＝－f（－x）。

（2）函数y ＝f（x）的图象关于x=a对称的图像为y＝f（2a－x）；关于y=b对称的图像为y＝2b－f（x）；关于点（a，b)中心对称的图像为y＝2b－f（2a－x）。

（3）绝对值问题

①函数 y＝f（x）x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数 y ＝|f（x）|的图像；

②函数 y＝f（x）y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数 y＝f（| x|）的图像；

③函数y ＝f（x）先用第②步的方法得到函数y ＝f（|x|）的图像，再平移a个单位得到函数y ＝f（|x－a|）图象。

我们还可以得到下面的

结论：

（1）函数y ＝f（x）与y＝f（2a－x）图象关于直线x = a对称；

（2）函数y ＝f（x）与y＝2b－f（x）图象关于直线y = b对称；

（3）函数y ＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）图象关于点（a，b）对称；

 

附注：

下面是有关函数图象自身的对称性的一些结论，我们把它放在这里来对比一下：

（1）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝f（a－x）成立，

    则函数 f（x）的图像关于x=a对称；

（2）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（bx）＝f（2a －bx）成立，

    则函数 f（x）的图像关于x=a对称；（b≠0）

（3）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝－f（a－x）成立，

    则函数 f（x）的图像关于点(a,0）对称；

（4）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（bx）＝－f（2a－bx）成立，

    则函数 f（x）的图像关于(a,0）对称；（b≠0）

（5）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝2b －f（a－x）

    成立，则函数 f（x）的图像关于点(a,b）对称；

（6）若函数f（x）满足：对任意的实数x，都有f（x）＝2b －f（2a －x）

    成立，则函数 f（x）的图像关于(a,b）对称。

注意：函数y ＝f（a + x）和y＝f（a－x）的图像关于y轴对称。