牛顿莱布尼茨公式

复函数在解析区域内积分与路径无关，就可以定义一个原函数，这样不管积分路径如何变化，只要给出起点和末点，那么这个曲线积分的值就是确定的，这个值等于多少？就是牛顿莱布尼茨公式解决的问题了，将起点和末点代入到原函数中，原函数在末点的值减去起点的值，就是曲线积分的值。这给出了一种计算复函数曲线积分的方法，先判断被积函数在曲线上是否解析，解析就与路径无关，才有原函数，才能用牛顿莱布尼茨公式。比如

         

这3个小题，被积函数都在复平面上处处解析，都有原函数，那么积分与路径无关，前两个小题可以用数学分析和高等数学中的不定积分方法找到原函数，代入上下限可以得到结果。第(3)小题给出了曲线的参数方程，但是如果用复函数在曲线上积分的参数方程方法，会发现难度特别大，这就是出题者故意设置的陷阱，在陷阱上铺满了鲜花，诱惑你走到一条荆棘满地行走蹇难的道路，我们要认清本质，看清真相，旁边的不起眼的小路有时会更容易到达目标。

当原函数是对数函数时，要注意复变函数中的对数函数和实变函数的对数函数是有区别的，比如：

第一象限的单位圆弧，起点是1，末点是i，原函数是对数函数，代入后应该取对数函数的主值，实部是复数模的对数，虚部是辐角的主值和虚数单位的积。柯西型积分是最重要的一类积分，在计算中经常会出现的，我们来看一下

当分子为常数时，分母在曲线上没有奇异点时，就是处处都解析了，那么不管曲线是直线段还是曲线段，积分都与路径无关，计算这类积分，这时从起点到末点行走时，分母奇异的点可能在左侧或者右侧两种情况，我们计算如下：

这样就得到了弧段上的柯西型积分的值，如果奇异的点在封闭曲线上或者在开口弧段上时，这种情况就是柯西主值积分了，先看封闭曲线上积分，我们根据柯西积分定理和柯西积分公式容易知道，柯西型积分分母的奇异点如果在所围区域内部，积分值是1，如果奇异点在所围区域外部，那么在区域内就是处处解析，积分值等于0，边界上就取平均值二分之一。

对于奇异点在开口弧段上时，可以作一个小圆，让小圆的半径趋向于0，来计算这个积分值，这个小圆弧段取不和支割线相交的那个弧段，这样就可以得到，辐角的变化有钝角和锐角的区分，具体情况具体分析。