【圆锥曲线】圆锥曲线压轴题之切线问题

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——小π

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综述

圆锥曲线的切线问题有两种处理方法：

方法1：导数法，将圆锥曲线方程化为函数

y=f(x)

，利用导数法求出函数

y=f(x)

在点

(x_0,y_0)

处的切线方程，特别是焦点在

y

轴上常用此法求切线；

方法2：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式

△=0

，即可解出切线方程，注意关于

x

（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法

与切线有有关的结论：

1.椭圆的切线方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

2.双曲线的切线方程：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

3.抛物线的切线方程：抛物线 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 上一点处的切线方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ ；抛物线 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ .

4.设抛物线 $C$ $y^2=2px\ \ (p>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与抛物线 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

5.设椭圆 $C$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与椭圆 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

6.设双曲线 $C$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与双曲线 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

【典例赏析】

（一）与圆有关的切线问题

【解析】

（2）（i）本题有两种解法：

（方法一）：椭圆和圆有公切线时求点

P

的坐标，可先设公切线方程为

y=kx+b

然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出的

k,b

值，再求出点

P

的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。

（方法二）：题目中让求点

P

的坐标，不如一开始就设出点

P

的坐标，利用点

P

的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，

△=0

即可求出点

P

的坐标。

这里我们选用第二种方法：

（ii）分析：第二问由于

△OAB

的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长

AB

的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程

y=kx+b

，根据直线与圆相切可得

b^2=3k^2+3

，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将

k

或

b

转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：

注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将 $b$ 转化为 $k$ 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。

（二）与椭圆有关的切线问题

【解析】

【答案】A

【解析】

（三）与抛物线有关的切线问题

【解析】

【答案】D

【解析】

【提高训练】（共7道题）

【答案】 $2\sqrt{2}$

【答案】 $\sqrt{3}+1$

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

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