搞定所有圆锥曲线相切以及和相切有关的问题

先来个简单的,关于圆的切线和切点弦

1. 关于圆

圆的切线:

记法：见面分一半。同样适合椭圆和双曲线，见下文。

证明：圆心到直线的距离等于半径即可。

圆的切点弦：

证明:设而不求的思想应用极致。以下证明过程需仔细斟酌，之后的椭圆，双曲线，抛物线的相关证明方法一样。就不一一列出了。

应用：

分析：此题可直接应用切点弦的结论，将2和3分别分给x和y，可求出切点弦所在直线方程。

分析：此题求弦长，所以弦所在的直线方程必不可少，可应用切点弦结论先求出AB所在直线方程，然后根据圆的弦长公式求出弦长。

分析：此题是过C点做的圆的切线，根据结论可以求出AB直线方程，又直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，分别令x=0和y=0，可求出椭圆的右焦点和上顶点坐标，分别是（1,0）和（0,2），所以c=1，b=2.椭圆方程即可求得！

开始加深难度，关于圆锥曲线的切线，分别是椭圆、双曲线和抛物线

2. 椭圆

椭圆的切线：

椭圆的切点弦：

3. 双曲线

双曲线切线:

双曲线的切点弦:

4.抛物线

抛物线的切线：

（由于抛物线的标准方程有4个，这里用开口向右的为例，其他同理）

记法：见面分一半。二次项与圆方法相同，但是要注意一次项的分法。

抛物线的切点弦：

掌握了切点弦的基本操作后，对于圆锥曲线的相关问题大有帮助，前方高能，结论犀利，如果对切点弦的结论没记住的话，请向上翻阅，巩固后向下阅读！

切点弦过定点问题：

结论：直线动点，切弦过定

椭圆：直线上一动点引椭圆两切线，则过两切点的直线必过定点。

双曲线：直线上一动点引双曲线两切线，则过两切点的直线必过定点。

直线上一动点引抛物线两切线，则过两切点的直线必过定点。

证明：

由于结论中的定点坐标，不好记忆，故需要同学学会该定理的推导方法，考试中直接应用即可。

应用：

分析：第一问，我们已经学会切线所在直线的公式，无需要类比，即可写出切线方程

第二问，利用切线方程，推导出直线AB恒过定点。

答案：略

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练习：

答案：略

继续深入，割线情况

5.现在引入割线，这里用椭圆举例，其他同理。

割线与切点弦共存，结论很多，并且有些在高考中不会涉及，这里选取一些对高考有帮助的，同时方便记忆的。

如图：椭圆外一点P，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，过P做椭圆的割线交椭圆于C，D，交直线AB与点Q。

结论一：切弦与割，倒数等差（|PC|,|PQ|,|PD|的倒数成等差数列）

给出证明：

本结论的灵感来源于圆，在圆中这个结论很容易通过相似证明，继而在椭圆中也依然成立。感兴趣的同学可以动手证明一下圆中的结论！

应用：

分析：此题是在抛物线中探寻该结论，证明方法仿照例题的证明方法，注意过程中的化斜为直，这样方便把长度的倍数关系转化到坐标的比例关系。依据结论可知，|PC|,|PQ|,|PD|的倒数成等差数列，故所求必然是定值。

结论二：切弦与割，对应比例（|PC|/|PD|=|QC|/|QD|）

结论三：以上两个结论，反之亦然，即如果满足“倒数等差”或“对应比例”，则它们必是切点弦和割线关系

应用：

分析：根据反之亦然，可知，若P,Q,C,D四个点行程的线段满足对应成比例的关系，则点Q的轨迹必在椭圆的切点弦上，答案瞬间可以做出。

分析：

第一问，通过直线曲线联立分别解出B点和C点的坐标，再解出线段AC的中点坐标，和直线BO的方程，发现直线BO过AC中点，即直线BO平分线段AC。

第二问，如若没有我们今天的结论，这道题难度非常之大，不仅仅是思路的问题，更是计算结果准确度的问题，因为此题少有数字多为字母。

由于M、N、P、Q四个点做出的四条线段，满足对应的比例关系，所以Q点一定在切点弦所在直线上，又此题知道离心率，所以最后答案最好用同一个字母c表示。

分析：解法同上题

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