什么是熵？我花了10个小时总结了以下几点

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您可能已经对熵的概念和热力学第二定律有所了解。这些是热力学课程中的关键概念，但熵是我们在研究的某些时候都在努力解决的概念。就像我曾经的物理老师曾经说过的那样：

世界上真正理解熵的只有四五个人，而我不属于他们。

事实上，与物理学中的其他量（如质量或能量）相比，熵似乎是一个主观量，它取决于观察者选择定义或可以访问的宏观变量。然而，第二定律似乎是驱动我们宇宙的基本定律，与能量守恒处于同一水平。每当我深入研究这些问题时，我就会变得越来越困惑……

那么，什么是熵？

熵最初是由克劳修斯在 1850 年代早期引入的，目的是描述不可逆过程 中的能量损失，这对预测系统的自发演化（例如化学反应、相变等）非常有用。但在当时，这更像是一个抽象的数学神器，缺乏可以解释熵从根本上代表什么的形式主义。1877 年，统计热力学的创始人玻尔兹曼提出了熵的优雅形式化。简而言之，他将熵S定义为可能的微观排列（微观状态）Ω数量的度量符合系统宏观条件（观察到的宏观状态）的系统，例如温度、压力、能量：

其中kB是玻尔兹曼为了匹配克劳修斯的熵而引入的常数。

换句话说，玻尔兹曼熵代表了系统的隐藏信息，即Ω 越高，您对其真实微观状态的了解就越少。例如，当前宇宙中熵最高的物体之一是黑洞，因为它们的宏观态仅由它们的质量、电荷和自旋来定义。因为我们只能访问这些变量，所以有很多可能的方式可以在其中安排问题。

具有两个骰子的系统的每个配置的熵，其中观察到的宏观状态是它们的总和。

自 20 世纪中叶以来，熵的概念也在信息论和量子力学领域得到应用，但本文主要讨论统计热力学背景下的熵。

熵不是无序的

关于熵最流行的信念之一是它代表无序。它来自直觉，即我们认为“混乱”的系统通常可以采用比有序系统更多的可能配置，因此具有较低的熵。然而，正如我在下面向您展示的那样，有序的概念是主观的，并且有几个反直觉的例子说明了为什么将熵描述为无序会导致混淆：

• 我们通常认为系统的晶体形式比其流体形式更有序。尽管如此，在相同的热力学条件下，很少有系统的晶体形式处于比流体相更高的熵状态，这与上述直觉相悖。

• 与流行观点相反，当相互作用受引力支配时，均匀分布的物质（通常被认为是无序的）是不稳定的并且实际上是最不可能的状态，因此熵非常低。具有高熵的最可能状态是物质全部集中在大质量物体中的状态。

第二定律只是一个概率推理

热力学第二定律的一个流行说法是“封闭系统的熵只会增加”。然而，这实际上不是第二定律的内容。正确的表述是：

当热隔离系统从一个热力学平衡状态A过渡到另一个热力学平衡状态B时，其热力学熵 S 的增加量大于或等于 0。

这里的关键要点是，熵不是热力学平衡之外的一个正确定义的量，这是研究人员中仍在积极争论的话题 [ 2 ]。尽管如此，非平衡熵可以在特定系统中定义，在这些系统中我们有一组宏观变量，我们可以在每个时间点连续监测这些变量。然后根据与这些宏观变量兼容的可能微观状态的数量定义熵，第二个原则自然地从概率推理 ( H-theorm ) [ 3 ] 中出现。

一个系统将把它的大部分时间花在它最可能的状态上，即与最多可能微状态兼容的状态。

例如，对于在盒子中扩展的简单光粒子系统，这些宏观变量可以是盒子每个“网格”中的粒子数。然后，最可能的配置是具有均匀分布粒子的配置，即每个网格中具有相同数量的粒子。为了将其可视化，我做了一个简单的模拟，其中有 100 个粒子从一个角落开始并散布到整个房间（通过 Lennard-Jones 势进行交互）。

通过 Lennard-Jones 势相互作用在盒子中扩散的粒子的熵增加。

通过初始化角落中的粒子，系统从一个非常不可能的状态（p = 1/4¹⁰⁰ = 1/10⁶⁰）开始，具有低熵。然后粒子在房间里扩散，熵迅速增加。但有时，只是偶然，比预期更多的粒子最终会落在角落里，从而暂时降低熵（请参阅涨落定理以了解这种现象的定量形式）。因此，我之前关于第二定律的观点。

在这里，我定义了一些“网格”以计算熵。在这方面实际上有更多的复杂性，例如，如果你降低网格分辨率会发生什么？这如何改变熵的计算？这如何推广到任何物理系统？查看本文的第二部分以获得更深入的讨论。

时间之箭 -> 从大爆炸到热寂

从热力学第二定律可以看出，宇宙的熵一直在增加，并将继续增加，直到达到最大熵状态的热力学平衡。有趣的是，这种不可逆性造成了时间流动的不对称（与每个方向对称的 3 个空间维度形成对比）。通过回溯到宇宙的早期，我们可以得出结论，它是从一个异常低的熵状态开始的 [ 4 ]。那么，我们该如何解释呢？

部分答案是宇宙膨胀。在最初的瞬间，宇宙进入了指数增长阶段，由高宇宙学常数（比当前值高约 20 个数量级）主导。在那个阶段，物质扩散得太快以至于引力无法发挥重要作用，因此宇宙膨胀期间的最大熵状态是物质的均匀分布。然而，在膨胀大约 1/10³5 秒后，宇宙膨胀了 10²⁶ 倍，此时宇宙学常数突然衰减到当前值，膨胀停止 [ 5 ]。

在那次事件之后，引力终于开始发挥作用，宇宙不再处于热力学平衡状态。物体开始聚集成后来成为恒星、星系和黑洞的东西，从而极大地增加了宇宙的熵（请记住，当引力占主导地位时，均匀分布的物质是不稳定的，因此通常具有低熵）。

关于我们宇宙的未来，所有物质坍缩成黑洞只是时间问题，黑洞本身会通过霍金辐射蒸发。预计最后一个黑洞会在大约 10¹⁰⁰ 年后蒸发。在那之后，宇宙将主要由光子和中微子组成，非常接近其最大熵状态，通常被描述为热寂。

自发熵减少

热力学第二定律有一个重要的微妙之处。正如我们之前讨论的那样，在令人难以置信的大时间尺度上，熵可能仅出于统计原因而自发地降低到一个较低的值。例如，如果您等待非常、非常、非常长的时间，您房间中的粒子可能会自发地落在角落里。

形式上，这被称为庞加莱递归定理，该定理指出某些动力系统将在有限时间后始终返回其初始（低熵）状态。这并不违反第二条原则，该原则简单地指出“系统将在其最可能的状态中花费大部分时间”。换句话说，在很长一段时间内，系统只会在这些低熵状态之一中花费一小部分时间。因此，第二定律是关于统计的，而不是关于确定性预测的。尽管如此，由于这些庞加莱递归涉及的时间尺度通常比宇宙的年龄大得多，第二定律在实践中变得确定，我们恢复克劳修斯和卡伦引入的经典热力学形式主义。

有趣的是，遵循同样的想法，弦理论的一些形式主义表明任何大小的任何宏观物体都可以通过量子涨落自发地出现在真空中。举个例子：

• 人体可能会在达到热寂后约 10^(10⁶⁹) 年后出现在我们可观察到的宇宙中的某个地方（参见玻尔兹曼大脑）。同样的计算适用于任何人类大小的原子组合。

• 一个新的早期宇宙可能会在 ~10^(10^(10⁵⁶)) 年后出现 [ 6 ]。所谓新宇宙，我的意思是大约 10⁸⁰ 原子被包装在一个非常小的体积中，从而创造了类似于我们在该区域早期可观测宇宙的条件。

玻尔兹曼想象我们的宇宙在很久以前就可以达到热力学平衡和最大熵状态，但是出于统计原因，在极长的一段时间后自发熵下降到我们早期宇宙的水平。然而，这些计算中涉及的时间尺度是如此之大和抽象，以至于人们可能怀疑这些是否有意义。

结束语

在这里，我试图提供对熵和第二定律的直观理解。但实际上，本文没有解决几个问题。例如，当我们计算这些在盒子中膨胀的粒子的熵时，我们任意定义了一个 2x2 的网格来计算熵。然而，如果我们使用其他网格，甚至我们选择定义的任何其他数量，我们会得到不同的结果。因此，熵似乎是一个主观量，它取决于观察者选择定义的宏观变量。那么我们如何客观地定义一组宏变量来计算它呢？

实际上，深入研究这个问题非常复杂，我们只是触及了皮毛。

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参考

[1] 哈吉-阿克巴里、阿米尔等人。“密集四面体的无序、准晶相和晶相。” 自然462.7274 (2009)：773–777。(
https://www.nature.com/articles/nature08641 )

[2] Šafránek、Dominik、Anthony Aguirre 和 JM Deutsch。“经典动力学粗粒度熵和与量子版本的比较。” 物理评论 E 102.3 (2020)：032106。(
https://arxiv.org/pdf/1905.03841.pdf )

[3] Jaynes, Edwin T.“吉布斯与玻尔兹曼熵”。美国物理学杂志33.5 (1965): 391–398。(
https://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.vs.boltzmann.pdf )

[4] Egan、Chas A. 和 Charles H. Lineweaver。“对宇宙熵的更大估计。” 天体物理学杂志710.2 (2010)：1825。 (
https://arxiv.org/pdf/0909.3983.pdf )

[5] Patel、Vihan M. 和 Charles H. Lineweaver。“没有平衡初始条件的宇宙初始熵问题的解。” 熵 19.8（2017 年）：411。（
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1708/1708.03677.pdf）

[6] Carroll、Sean M. 和 Jennifer Chen。“自发膨胀和时间之箭的起源。” arXiv 预印本(2004)。(
https://arxiv.org/abs/hep-th/0410270 )