平面的投影变换(5)

1. 极点和极线

定义（极点pole和极线polar）：点x 与二次曲线C 共同决定一条直线 l = Cx 叫做x 对 C 的极线，点 x 叫做极线 l 对C 的极点。

定理（极点与极线的关系, pole-polar relationship）：点x 对C 的极线 l 与 C 相交于两点，通过这两点的 C 的两条切线相交于点x.

如果点 x 位于C 上，则它的极线就是C 在点 x 上的切线。

如果点 x 位于 C 内部，会怎么样？

定义（相关，correlation）：由极点和极线的定义可知，二次曲线引入了在空间P² 上从点x 到直线 l 之间的一个映射，这个映射关系可以用1个3x3非奇异矩阵A 来表示，即l = Ax. 这叫做相关，它代表在空间 P² 上从一个点到一条直线的一个可逆的映射。

映射矩阵 A 不一定是对称的，但是二次曲线C 一定是对称的。并且由于C 的对称性，使得这一映射具有共轭的特点。

定义（共轭点, conjugate points）：如果极点x 对二次曲线C 的极线为 l = Cx，且点 y 位于极线 l 上，则有 y^T l = y^T Cx = 0。任意两个满足条件y^T Cx = 0的点x 和y 称为对 C 共轭。

定理（共轭定理）：如果点x 位于点y 的极线上，那么 y 也位于 x 的极线上。

由二次曲线 C 的对称性，很容易得到上述结论。

由对偶定理，可以得到具有共轭关系的两条直线。

定义（共轭直线，conjugate lines）：两条直线 l 和m 共轭，如果l^T C*m = 0.

2. 固定点和固定线

前面已经讲到，无穷线在投影变换下是固定的，而虚圆点在相似性变换下是固定的。本节进一步讨论这个问题。

对3x3变换矩阵 H 进行特征值分解，得到

He = λe

其中 e 是特征向量，λ 是特征值。如果把特征向量 e 看做 P² 空间中的一个齐次点，则显然 e 和λe 代表同一个点。这说明点 e 在变换 H 中是个固定点。

3x3 矩阵 H 最多有3个特征值，则相应的有3个固定点。

对于直线的变换l' = H^-Tl,  把它写成 l = H^T l',  则可以看到，H^T 的特征向量对应于3条固定线。

欧式矩阵：进行特征值分解，得到

可见，欧式矩阵的两个特征值{e^iθ,e^-iθ}代表旋转角度，它们对应的特征向量就是两个虚圆点 I 和 J. 可见虚圆点在欧式变换下是固定的。

第三个特征向量 (a,b,c)^T，叫做极点 (pole) ，对应于特征值1。

相似矩阵：进行特征值分解，得到

可见，虚圆点在相似变换下仍然是固定的。特征值代表了旋转角度和缩放比例。

仿射矩阵：对仿射矩阵的转置矩阵 H_A^T 进行特征值分解，得到

可见，无穷线 l_∞ = (0, 0, 1)^T在仿射变换下是固定的。