摘要：在观察与实验，比较，分类与系统化等数学思维方法方面，以及空间想象力、思维的严密性与深刻性、运算能力及推理能力等重要数学思维能力方面，一般重点高中的优等生与普通生在总体上差异比较显著，这种差异既有智力因素，还有思维习惯、品质等方面因素。教师在教学中应精心设计教学过程，以数学思维的规律组织教学，加强学生直觉思维能力的培养，优化思维习惯，优化思维品质，提高教学效果，进而使普通生在数学思维能力的培养和发展上尽量达到其最高水平。
关键词：数学优等生与普通生；数学思维；数学教育
一、问题的提出
经过中考，重点高中选拔了基础较好的学生，他们的中考数学分数很高，但经过一段时间的学习出现了分化，部分学生学习数学很轻松，有兴趣，解题速度快，在数学竞赛中取得好成绩，成为数学优等生，而相当部分同学虽然学习很努力，可是数学成绩提高不快。为什么在同一个教学班中会出现这么大的差距呢？他们在学习数学过程中的思维活动有什么差异？
国内外目前有比较系统的认知发展理论，数学解题理论（如波利亚解题理论等），以及元认知理论，但还没有发现有人对重点高中数学优等生与普通生的数学思维进行比较，并用数学优等生的思维方法指导普通学生进行学习。
本课题通过比较他们学习数学的思维活动，找出数学优等生的数学思维方法特点，并对普通学生进行针对思维方法训练，优化普通学生的思维习惯和思维品质，从而缩小他们在数学学科上的差距。
二、研究的目的意义
在重点高中，由于招生规模不断扩大，数学优等生占总体比例并不是很高。通过优等生与普通学生数学思维方法的比较研究，如果能找出数学优等生与普通学生数学思维方法的差异，并结合数学学习理论及波利亚解题理论等，对普通学生进行数学思维方法的指导，对于大面积提高数学教学质量具有重大意义。
三、研究的方法
××是省一级重点中学，学生具有一般重点中学的特点。研究对象高二年级（2004年入学）两个班学生和高三年级部分学生。其中高二年级选取一个重点班和一个普通班，在高三年级选取部分数学优等生和部分数学普通生。研究所需测试大多是随同教学进度进行的。测试时间：2004年12月——2006年7月。高三测试时间：2005年9月———2006年6月。采用测试、对比、指导，再测试、对比、指导的方法。后测: 高三采用2006年高考卷, 高二采用校期未考试卷.
四、研究的结果与讨论
受研究时间、条件等限制，在高二年级对优等生与普通生在空间想象力、思维的严密性与深刻性、运算能力及推理能力等方面做了些比较研究，现将研究的阶段性成果加以介绍。
1．在空间想象力方面。
空间想象力是一种基本的、重要的数学能力，高二进行的3次测试（测试Ⅰ、测试Ⅱ、测试Ⅲ）是学生学习立体几何之初、学完时及学完后间隔了一段时间进行的．统计结果（如表1所示）表明：优等生平均成绩比普通学生高，而且测试Ⅰ、Ⅲ的差异显著．我们是否可以得出这样的结论：普通生在初涉空间问题时,入门较优等生慢,接受起来有一定困难,优等生的空间观念建立得更快些,尽管差异可以通过教学训练得到适当的补偿，但学生一旦停止这种强化式训练，普通生相对优等生来说仍有一定的困难，也就是说普通生对立体几何知识理解得少、临时记忆得多．
表1 空间想象技能测试学生差异显著性检验
测试
测试Ⅰ
测试Ⅱ
测试Ⅲ
生别
优等生
普通生
优等生
普通生
优等生
普通生
均值
6.63
3.86
7.25
5.92
4.48
3.55
标准差
2.39
3.08
1.84
3.24
2.03
2.55
t(z)值
t=2.05
t=1.40
t=2.43
结论
p<0.01
p>0.05
p<0.05
从试卷中的个别试题结果分析可以看出优等生的空间形状直觉想象要强．例如测试Ⅱ中的第2 题——“如图 1 所示，一圆锥有一棱长为 a 的内接正方体（正方体下底面在圆锥的底面上，上底面4 个顶点在圆锥的侧面），则此圆锥的轴截面图形的形状可能是 要求：把可能图形的序号都填上．” 此题需要对所给几何体进行旋转、切割等操作，而对表象的操作能力是空间想象力的最高层次．如果能够把这一几何体的截面图形清楚地想象出来，对于中小学生而言，“该算是个很好的数学家了”．通过试卷调查发现，普通生只选（2）项的占普通生的65%，选其它正确项的普通生较少，而（2）项的轴截面图形是教师曾经指导训练过的．本题得分的统计结果：Z=3.68（P<0.01）．可见优等生直觉想象显著高于普通生，而且普通生对于未训练过的空间问题想象起来有一定的困难．总之，重点高中优等生的空间想象能力远强于普通生．
图 1 圆锥轴截面形状
普通生的识记方式带有明显的机械识记的成分，习惯“老师讲，自己记，复习背”的学习方式，能熟练叙述概念、法则及基本技巧．看一看他们的笔记，可以说是教材和教师板书的“映射”，很有条理．而优等生则倾向于理解记忆，且笔记的内容也不一定完整，常常是某些要点和自己的感悟，对某些概念、法则知道其意思和主要特征．这两种识记方式对简单的知识影响不大，但对学习高认知水平的内容的影响则非常明显，如学习立体几何时，不少普通生能熟练背诵和叙述定理、方法，但却难以根据概念、定理画出正确的图形，而优等生则不一定，这显然与记忆方式有关．
通过观察和分析，我们发现，在解决许多立体几何问题时，优等生往往能根据题意迅速画出相关图形，并能对图形进行分离转化，抓住主要矛盾，而普通生则在概念叙述与图形分析方面存在明显的脱节现象，没有形成较合理的概念的图形意向，遇到较灵活的问题时，就难以把图形作为分析问题的出发点，导致分析能力弱．
2．思维的严密性与深刻性
思维的严密性与深刻性往往是学生能否正确、全面解决数学问题的关键。在复习直线与圆锥曲线的位置关系这部分内容时，我给出了这样一个问题：
过点P（0, 1）与双曲线C:
只有一个公共点的直线有几条？
大部分普通学生是这样考虑的：设过点P（0, 1）的直线 l 方程为： ，
由
∵直线与双曲线只有1个公共点。∴
即
∴满足题意的直线有2条。
而一般优等生都想到方程 只有一解的情况还有
即
时，此外当直线
斜率不存在时也考虑到了。
优等生对数学思想方法及分析思考过程的重视程度明显强于普通生，普通生较多地关注技巧和各类习题，被动应试的倾向较强．这也说明，优等生较多地重视学习策略，而普通生则比较关注常规技巧．又如：
在地球北纬
圈上有A、B两点，他们的经度相差
，则A、B两点在此纬度圈的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是（ ）
A、3:2
B、2:3 C、1:3 D、3:5
多数优等生能抓住“球面距离”这一概念的本质，一眼看出答案是A，而多数普通生则经过运算后才得到正确答案。
我们认为优等生与普通生思维方式有显著差异，在数学学习过程中，优等生中爱独立思考者较多，分析问题时比较注重抓主要矛盾和事物间的联系，擅长于抽象思维，爱好合情推理，而普通生中则模仿者居多，善于直接推理，条理性强，偏重形象思维，抽象概括能力较弱，难以把握事物间的内在联系．这种思维方式的差异对相对容易理解的小学和初中的数学内容，影响不大，但对抽象程度和综合程度越来越高的高中数学，所产生的影响，则是显著的．因此，教师在教学中要注意暴露知识发生过程，重视归纳、猜测等合情思维的渗透，多给普通生一些锻炼机会．
3．运算能力及推理能力
在运算技能及基础知识的应用方面，优等生与普通生又有何差异呢?在学习了“直线”后，按大纲要求拟定测试卷，结果如下（满分100分）．
表2 优等生与普通生运算技能比较
ｎ
σ
｜Ｚ｜＝1．28＜1．96
Ｐ＜0．05
普通生
49
84．62
7．41
优等生
46
88．10
6．40
表2说明，在“双基”方面，普通生成绩稍弱于优等生，但无显著差异．
为进一步判断优等生与普通生在运算与推理方面的心理选择倾向，我们做了一个小试验，即在综合考试的某大题中设置两道解析几何题，要求学生选作一题，如果两小题都做，则按第1题评分．其中第1题是一道比较容易的与轨迹有关的证明题（主要过程也是计算），第2题为一道难度一般但运算繁杂的计算题．结果选择证明题的优等生有35人，普通生只有17人，且优等生成绩强于普通生，差异较显著（Ｐ＜0．05＝；选择计算题的普通生正确率与优等生无显著差异（Ｐ＞0．05）．这就说明，普通生在推理方面显得信心不足，缺乏自信，学习上偏重于运用“双基”、套用技法及常规运算，从心理上畏惧推理问题．
在高三年级对优等生与普通生在观察与实验，比较，分类与系统化等数学思维方法方面进行对比研究,通过前测发现：优等生组和普通生组在观察与实验，比较，分类与系统化，分析与综合，特殊化，联想和猜想方面，没有明显的差异，而在归纳，演绎与数学归纳法，一般化与特殊化，模型化与具体化，联想与猜想方面，优等生组和普通生组有较大差异。对比后，我们对普通生组进行指导，并进行针对性的训练，经过反复多次指导—针对性训练，在2006年全国高考中，有43℅学生成绩有显著提高，32℅学生成绩有比较明显提高，25℅学生成绩没有明显提高。
五、结论与启示
从上述调查研究中可以看出，一般重点高中优等生在数学思维能力方面要明显好于普通生．根据它的形成原因或许会给我们提供一个缩小差异的方案，就是说数学教师在教学过程中应适当地针对优等生普通生的不同特点因势利导，采取不同的教学方法，提高教学效果。
1．以数学思维的规律组织教学
学生的数学能力决定于该生掌握的知识点、解题方法、对问题的见解、反应能力、思维能力等。其核心可归结为思维能力。若思维能力提高了，则反应必然快，见解也必然深刻，对以往尚未掌握的知识能很快地理解接受，知识面也必然逐渐开阔。因此提高数学能力，关键是提高思维力，而数学思维又最能体现思维的深刻性。所以，数学教材应以数学思维的规律进行组织，暴露思维过程，如让学生参与揭示知识的发生过程，参与例习题分析的思维过程，参与数学思想方法总结的全过程。要给学生时间有机会讲出解决问题的各种想法和思路，哪怕是思路受阻或错误的，也要让学生暴露受阻或错误的原因。教师应认真钻研教材，把概念理解、知识掌握、例习题分析、问题解决等思维层次结构进行设计，这样才能调动学生尤其是普通生思维的积极性，讲练结合，讲知识的形式，练数学思维的方式，使学生的思维品质逐渐达到深刻、敏捷、灵活、广阔。
2、加强直觉思维能力的培养
G．波利亚对直觉洞察力作了合乎情理的描述，有独到风格与见解，他说：“在解题活动中要设法先预见到解或解的某些特征，或一条通向它的小路，如果这种预见突然闪现在我们的面前，我们就把它称为有启发性的想法或灵感。”
直觉洞察力的具体表现形式就是念头、类比、想象、判断、预见等。预见在直觉思维中占据了核心的地位。优等生往往具有较强的预见能力，我们在日常教学中应加强这方面能力的培养。正如布鲁纳所说：“预见的训练是正式的学术学科，但却很容易被人们所忽视的，机灵的预见、丰富的假设和大脑迅速作出试验性结论，这是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富，而学校的任务就是引导学生掌握这种天赋。”
直觉思维中的预见有着十分广泛的应用，如法拉弟预见了磁力线与磁场的存在，居里夫人预见了放射性元素钍和镭的存在，丁肇中教授预见J粒子存在，毫不例外，预见在数学领域中也有广泛的应用。例如：在证明一个数学定理之前，往往是先预见其内容，继而预见其证明思路等。
3、培养学生良好的思维习惯
在数学学习过程中，大家注意到了“掐头、去尾、烧中段”的现象，在解题中这种现象也很普遍，很多普通生拿到问题便匆匆下笔，然后再涂涂画画，甚至不得不改弦更张，审题、解题计划都太“虚”，一些学生习惯于“下笔千言”，一道题一次解错，下次还同样错；上次不会，学完后仍然不会，解过的题以后仍然要重新探索。总之，不少普通生没能养成良好的数学思维习惯。
思维能力则是通过思维对自己的知识、经验，根据要求的一种重新“组合”（创新），思维能力的培养不可能靠名词的解释和抽象说教达到目的，需要教师结合实例深入浅出的示范引导，怎样审题、定计划、如何反思、问题转化、类化、联想、归纳等，通过师生的“出声思维”，让每一个学生养成想问题、问问题、挖问题和反思问题的习惯，达到数学解题的“过程”与“结果”的平衡，使不可言传的内容在潜移默化的过程中培养和提高普通生的思维能力。
4、优化学生的思维品质
许多普通生对问题的理解满足于一知半解，停留在知识的表面，这既不利于学生能力的培养，也不利于思维品质的优化。教师在概念、例题等教学中应引导学生深入思考，使他们的思路更加广阔，同时使学生明白在解决问题的过程中，要能够变换角度思考同一个问题，才能起到优化思维的作用；对问题只要深入进去，善于反思和总结，就会有所发现，只要是经过自己独立探索得到的，就是创新思维，我们要自觉地长期地培养这种探究、创新的思维品质。
教师应认识到数学优等生与普通生的思维差异，激发学生学习的主动性，使学生的思维能力在原有的基础上有所发展，逐步提升到同一平台，最终达到共同发展的目的。
六、课题研究的成果
一年多来，在本课题的研究过程中，通过师生共同合作、不断学习，取得了一些成绩。
课题组的两位老师各自所任教班级的学生都较大的进步：徐飞雄老师任教的学生董伟在2006年高考中数学单科以149分的成绩荣获全市第一名，高三试验班理科数学平均分123分，我校高考数学理科平均分列衢州市第一名。范东晖老师任教的学生在学年统考中在平行班中脱颖而出，尖子生突出，平均分高出平行班10—20多分。他们所辅导的学生参加全国数学竞赛，其中董伟等6位同学荣获全省一等奖，另有严皓亮等20人次获全省二、三等奖。获奖的质量和数量在衢州市遥遥领先。
提高课题的研究，不仅促进了学生的学习成绩的提高，也促进了教师的专业成长。范老师在2005年7月获得了中国数学奥林匹克一级教练员证书，2005年10月在获衢州市高中数学教师优质课评比第一名后，11月参加浙江省高中数学教师课堂教学评比并获一等奖，2006年又先后被评为衢州市教坛新秀、衢州市十佳青年教师。
七、课题研究的问题思考
尽管通过本课题的研究，丰富了我们的理论修养，改善了我们的教学行为。但我们深深地感到理论学习对作用和影响，而我们的理论学习还显得非常肤浅，在学习和实践还经常十分困惑。因此，我们需要不断充实自己的理论基础，将课题的研究不断引向深入。
参考文献：
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